grandes deviations

Grandes déviations
I. Introduction
D'après la loi des grands nombres, on sait qu'avec une pièce équilibrée, la probabilité d'avoir 50%
de piles tend vers 1 quand le nombre de lancers augmente. De ce fait, on peut en déduire que la
probabilité d'avoir un autre pourcentage de pile diminue au fur et à mesure que le nombre de lancers
est grand. L'objet de ce paragraphe est donc d'étudier la vitesse à laquelle la probabilité d'avoir un
certain ratio de pile s'éloigne de la probabilité d'avoir 50% de pile.
II. Fonction de taux
1. A l'aide de la formule de Stirling
On sait que la somme de variables aléatoires réelles indépendantes suivant une loi de Bernoulli suit
une loi Binomiale. C'est à dire que :
On a donc :
où k est un entier
positif.
On s'intéresse maintenant à la probabilité que la moyenne empirique des X
i
soit égale à un
certain taux y [0,1]. Pour cela on étudie la probabilité que la somme des X
i
soit égale à la partie
entière de ny, notée [ny] :
Or la formule de Stirling nous apprend que . En faisant tendre n vers
l'infini dans l'égalité précédente, on peut remplacer n! par son équivalent. On obtient donc :
1
1,..., , ( ) ( , ).
n
i i
i
i n X B p X B n p
=
∀ = ⇒
∑
∼ ∼
( )
! 2 /
n
n n n e
π
∞
∼
∈
( )
1
!
( ) (1 ) (1 )
! !
n
k k n k k n k
i n
i
n
P X k C p p p p
k n k
− −
=
= = − = −
−
∑
[ ] [ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
1
!
( ) (1 )
! !
n
ny ny
n
i
i
n
P X ny p p
ny n ny
−
=
= = −
−
∑
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
[ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
1
2 /
( ) (1 )
2 / 2 ( ) ( )/
/
1
(1 )
2 (1 ) / (1 ) /
1
2 (1
n
nny n ny
iny n ny
i
nny n ny
ny n ny
n n e
P X ny p p
ny ny e n ny n ny e
n e p p
ny y ny e n y e
ny
π
π π
π
π
−
−
∞
=
−
−
∞
∞
= −
− −
−
−−
∑
∼
∼
∼
( )
[ ]
( )
[ ]
[ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
/(1 )
)/ (1 ) /
/
1
(1 )
2 (1 ) (1 )
1 1
exp ln 1
2 (1 )
ny
ny
nny n ny
n ny
n ny
n ny n ny ny n ny
ny n ny
ny n ny
n e p p
yy n e y n e
n e p p
ny y y y
p p
y y
ny y
π
π
−
−
−
− − + −
−
∞
−
∞
−
−−
−
− −
−
−
−   
∼
∼
1 1
exp ln (1 )ln 1
2 (1 )
1
exp( ( ln( ) ln( ) (1 )ln
(1 ) (1 )ln(1 ))
2 (1 )
p p
ny n y
y y
ny y
n y p y y y p y y
ny y
π
π
∞
∞
−
+ −
−
−   
− + − − − − −
−
∼
∼
1ln( ) 1
exp( ( ln(2 (1 )) ln( ) ln( ) (1 )ln(1 ) (1 )ln(1 ))
2 2
n
n y y y p y y y p y y
n n
π
∞
−
− − + − + − − − − − ∼

On pose alors que l'on appelle
fonction de taux. Cette fonction prédomine à l'infini dans l'approximation ci-dessus. On montre
facilement que cette fonction est positive En effet, en dérivant par rapport à y :
s'annule en y=p.
Il s'agit donc d'une fonction convexe, dont le minimum, atteint en y=p vaut 0.
Cette fonction quantifie donc la vitesse à laquelle la probabilité que la moyenne empirique des X
i
soit égale à un certain taux y, décroît. Concrètement, par exemple dans le cas d'une pièce équilibrée,
p=1/2, on a alors :
On retrouve cette fonction dans le théorème des grandes déviations.
2. A l'aide du corollaire de Markov
Théorème : des grandes déviations.
On va démontrer ce résultat à l'aide du corollaire de Markov.
Corollaire de Markov :
Soit ϕ une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle I. Soit Y une variable aléatoire
( , ) ( ln( ) ln( ) (1 )ln(1 ) (1 )ln(1 ))
H y p y p y y y p y y
= − − + − − − − −
( ,1/ 2) ln(2) ln( ) (1 )ln(1 ))
H y y y y y
= + + − −
( ,1/ 2) ln(2) ln( ) (1 )ln(1 ))
H y y y y y
= + + − −
.
( ,1/ 2) H y
y
[
]
, 0,1 .
y p ∀ ∈
1
'( , ) ln ln 1
p p
H y p
y y
−
= − +
−
1 1
''( , ) 0.
1
H y p y y
= + ≥
−
[ ]
1
Soit , 0, , indépendants, suivant une Bern
oulli de paramètre p. Soit ( , ).
n
i i
i
X i n X X B n p
=
∈ =
∑
∼
[ ]
Alors 0,1 , exp( ( , )), avec ( , ) ( ln( ) ln( ) (1
)ln(1 ) (1 )ln(1 )).
X
y P y nH y p H y p y p y y y p y y
n
∀ ∈ ≥ ≤ − = − − + − − − − −

réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, , P), et telle que P(Y I)=1. Alors :
Preuve :
Il suffit d'appliquer l'inégalité de Markov en posant Z= ϕ(Y) et a= ϕ(b). On obtient alors :
Or ϕ est croissante donc :
On pose et comme dans la première méthode, on a : P(X/n ≥ y)=P(X ≥ ny).
En passant à l'exponentielle, on obtient : On applique alors le
corollaire de Markov :
On a d'où .
Or la bonne inférieure de est atteinte en pour t>0, c'est à dire y>p. Elle
vaut donc :
On a donc bien prouvé le théorème ci-dessus. De plus, on retrouve la fonction de taux définie en 1)
à la différence qu'il s'agit ici d'une inégalité et non une approximation à l'infini. De plus, on a
calculé en 1) la probabilité d'être égal à un taux, et en 2) d'être supérieur ou égal à ce taux.
3. Application du théorème des grandes déviations
On se propose d'appliquer les résultats démontrés précédemment, afin d'étudier la vitesse à laquelle
la moyenne empirique des X
i
s'éloigne de ½. Pour cela on peut regarder par exemple P(X/n > x+p),
où X/n est la moyenne empirique des X
i
, p la probabilité associée et x un réel appartenant à ]0,1-p].
D'après la partie 2), on obtient simplement que :
[
]
(Y)
, (b)>0, ( ) .
(b)
E
b I tel que P Y b
φ
φφ
∀ ∈ ≥ ≤
[
]
(Y)
0, P( (Y) (b)) .
(b)
E
b
φ
φ φ φ
∀ > ≥ ≤
[
]
(Y)
( ) P( (Y) (b)) .
(b)
E
P Y b
φ
φ φ φ
≥ ≤ ≥ ≤
1
n
i
i
X X
=
=
∑
0, ( ) ( ).
tX tny
t P X ny P e e
∀ > ≥ = ≥
( )
tX
tX tny tyn
E e
P e e
e
≥ ≤
(
)
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
0
car les X sont i.i.d.
(L ( ))
où L est la transformée de Laplace de X
exp(ln(L ( )))
exp(l ( ))) où l ( ) ln(L ( ))
exp( (l ( ) )
inf(exp( (l ( ) )) ca
n
tX
i
tyn
n
XX
tyn
n
X
tyn
n
XX X
tyn
X
X
t
E e
et
et
ett t
e
n t yt
n t yt
>
≤
≤
≤
≤ =
≤ −
≤ −
1
0
r vrai 0
exp( (inf(l ( ) ))).
X
t
t
n t yt
>
∀ >
≤ −
(1 )
t=ln
(1 )
y p
p y
−
−
1
l ( )
X
t yt
−
( ) exp( (( )ln( ) ( )ln( ) (1 ( ))ln(1 ) (1 ( ))ln(1 ( )
)).
X
P x p n x p p x p x p x p p x p x p
n
≥ + ≤ + − + + + − + − − − + − +
1
L ( ) 1
t
X
t p pe
= − +
1
l ( ) ln(1 )
t
X
t p pe
= − +
ln( ) ln( ) (1 )ln(1 ) (1 )ln(1 )
y p y y y p y y
− + − − − − −
∈

Ce qui donne graphiquement pour p=1/2 et n=100 :
De la même manière on s’intéresse, à P(X/n < p-x). Pour cela il faut reprendre depuis le début. Sous
les mêmes hypothèse on a :
On a .
La borne inférieure de est atteinte en pour t<0 c'est à dire y<p et vaut
donc :
On a donc simplement dans cette application, pour x [p-1,0] :
Ce qui donne graphiquement :
( )
tX
tX tny tyn
E e
P e e
e
−
− − −
≥ ≤
(
)
1
car les X sont i.i.d.
n
tX
i
tyn
E e
e
−
−
≤
1
1
1
(L ( ))
où L est la transformée de Laplace de X
n
XX
tyn
t
e
−
−
≤
1
1 1
exp(l ( )))
où l ( ) ln(L ( ))
n
XX X
tyn
t
t t
e
−
−
≤ − = −
1
0
exp( (inf(l ( ) ))) car vrai 0.
X
t
n t yt t
<
≤ − + ∀ <
0, ( ) ( ) ( ).
tX tny
t P X ny P X ny P e e
− −
∀ < ≤ = − ≤ − = ≥
1
l ( ) ln(1 )
t
X
t p pe
−
− = − +
1
l ( )
X
t yt
− +
(1 )
t=ln
(1 )
p y
y p
−
−
ln( ) ln( ) (1 )ln(1 ) (1 )ln(1 )
y p y y y p y y
− + − − − − −
∈
( ) exp( (( )ln( ) ( )ln( ) (1 ( ))ln(1 ) (1 ( ))ln(1 ( )
)).
X
P p x n p x p p x p x p x p p x p x
n
≤ − ≤ − − − − + − − − − − − − −