Exercices, II.

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Exercices, II (nombres premiers)
Problème 1.
(a) Soit k ≥ 2. Montrez que un nombre n est une k-ième puissance si est
seulement si k|vp (n) pour chaque nombre premier p.
(b) Est-ce qu’il existe un nombre naturel n tel que sa moitié est un carré parfait, son tiers
est un cube est son cinquième est une cinquième puissance ?
Problème 2. Montrez que, pour chaque entier n ≥ 1, le nombre 4n3 + 6n2 + 4n + 1 est
composé. [Indication : Développez (x + y)4 .]
Problème 3.
(a) Montrez que (a, b) > 1 si et seulement si il existe un nombre premier
p tel que p|a et p|b.
(b) Montrez que (xm , xn + 1) = 1, pour chaque m, n ∈ N.
(c) Si a ≡ 3 (mod 7), montrez que (a3 − a, a3 − a + 7) = 1. Quand est-ce que (a3 − a, a3 −
a + 7) > 1 ?
(d) Étant donnés k nombres naturels a1 , a2 , . . . , ak , on définit le plus grand commun
diviseur des a1 , . . . , ak comme
(a1 , . . . , ak ) := max{d ∈ N : d|aj pour chaque j ∈ {1, . . . , k}}.
Montrez que (ab, a + b2 , a + b + 1) = 1 pour chaque a, b ∈ N.
Problème 4. Soit λ = r/s ∈ [1/2, 1), avec (r, s) = 1. Soit aussi n divisible par s.
( )
( n ) λn
(a) Soit µ = λ/(1 − λ). Montrez que max0≤k≤n nk µk = λn
µ .
(n ) k
[Indication : Soit ak = k µ . Examinez quand le quotient ak+1 /ak est plus grand que
1.]
(b) Montrez que
1 −λn
· λ (1 − λ)−(1−λ)n ≤
n
(
n
λn
)
≤ λ−λn (1 − λ)−(1−λ)n .
(c) Montrez que
∑
λ log λ
1
log p ≤ C(λ) :=
− log(1 − λ).
n − λn λn<p≤n
λ−1
(d) Montrez
que C(λ)
(∑
) est une fonction croissante de λ. Alors la borne pour le rapport
λn<p≤n log p /(n − λn) est optimisée quand λ = 1/2, dans quel cas C(λ) = log 4.
∑
Remarque. Par le théorème de nombres premiers, on expècte que λn<p≤n log p ∼ (1−λ)n.
Ça explique pourquoi on normalise par diviser avec n − λn.
Problème 5. Soit p1 < p2 < p3 < · · · la séquence des nombres premiers.
(a) Montrez que il existe deux constants positifs c1 et c2 tels que
c1 k log k ≤ pk ≤ c2 k log k,
pour chaque k ≥ 2.
1
2
(b) Soit ω(n) := #{p premier : p|n}. Montrez que il existe un constant c tel que
c log n
ω(n) ≤
,
log log n
pour chaque n ≥ 3.
[Indication
: Si r = ω(n), montrez que p1 · · · pr ≤ n. Finalement, montrez que
∑r
′
′
j=1 log pj ≥ c r log r, pour un constant c > 0 independent de r.]
Problème 6 (Une autre preuve de l’infinitude des nombres premiers). En utilisant la principe d’inclusion-exclusion, montrez que
∑ ⌊ x ⌋
∑ ⌊x⌋ ∑ ⌊ x ⌋
−
+
∓ ··· ,
⌊x⌋ = #{n ≤ x} = 1 +
p
p
p
p
p
p
1
2
1
2
3
p <p
p <p <p
p
1
2
1
2
3
où p, p1 , p2 , p3 , . . . dénotent nombres premiers. [Indication : Montrez que #{n ≤ x : d|x} =
⌊x/d⌋.] Déduisez que si il existe un nombre fini de nombres premiers, alors
∑1
∑
∑ 1
1
1−
−
± · · · = 0.
+
p p <p p1 p2 p <p <p p1 p2 p3
p
1
2
1
2
3
Montrez que cette formule contredit l’assomption que il existe un nombre fini de nombres
premiers.
Problème 7 (Une preuve topologique par Furstenberg de l’infinitude des nombres premiers).
On équipe l’ensemble des nombres entiers avec une topologie, comme suivant :
– ∅ et Z sont ouverts,
– chaque progression arithmétique S(a, b) := {an + n : n ∈ Z} est ouvert,
– les unions des ensembles ouverts sont également ouverts.
Montrez que :
(a) Les progressions arithmétiques sont également fermés.
(b) Chaque ensemble fini n’est pas ouvert.
(c) Z \ {−1, 1} n’est pas fermé.
∪
(d) Z \ {−1, 1} = p premier S(p, 0).
Concluez que il existe une infinitude des nombres premiers.