Exercices, II.

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Exercices, II (nombres premiers)
Problème 1. (a) Soit k≥2. Montrez que un nombre nest une k-ième puissance si est
seulement si k|vp(n)pour chaque nombre premier p.
(b) Est-ce qu’il existe un nombre naturel ntel que sa moitié est un carré parfait, son tiers
est un cube est son cinquième est une cinquième puissance ?
Problème 2. Montrez que, pour chaque entier n≥1, le nombre 4n3+ 6n2+ 4n+ 1 est
composé. [Indication : Développez (x+y)4.]
Problème 3. (a) Montrez que (a, b)>1si et seulement si il existe un nombre premier
ptel que p|aet p|b.
(b) Montrez que (xm, xn+ 1) = 1, pour chaque m, n ∈N.
(c) Si a≡3 (mod 7), montrez que (a3−a, a3−a+ 7) = 1. Quand est-ce que (a3−a, a3−
a+ 7) >1?
(d) Étant donnés knombres naturels a1, a2, . . . , ak, on définit le plus grand commun
diviseur des a1, . . . , akcomme
(a1, . . . , ak) := max{d∈N:d|ajpour chaque j∈ {1, . . . , k}}.
Montrez que (ab, a +b2, a +b+ 1) = 1 pour chaque a, b ∈N.
Problème 4. Soit λ=r/s ∈[1/2,1), avec (r, s) = 1. Soit aussi ndivisible par s.
(a) Soit µ=λ/(1 −λ). Montrez que max0≤k≤nn
kµk=n λnµλn.
[Indication : Soit ak=n
kµk. Examinez quand le quotient ak+1/akest plus grand que
1.]
(b) Montrez que
1
n·λ−λn(1 −λ)−(1−λ)n≤n λn≤λ−λn(1 −λ)−(1−λ)n.
(c) Montrez que
1
n−λn 
λn<p≤n
log p≤C(λ) := λlog λ
λ−1−log(1 −λ).
(d) Montrez que C(λ)est une fonction croissante de λ. Alors la borne pour le rapport
λn<p≤nlog p/(n−λn)est optimisée quand λ= 1/2, dans quel cas C(λ) = log 4.
Remarque. Par le théorème de nombres premiers, on expècte que λn<p≤nlog p∼(1−λ)n.
Ça explique pourquoi on normalise par diviser avec n−λn.
Problème 5. Soit p1< p2< p3<· · · la séquence des nombres premiers.
(a) Montrez que il existe deux constants positifs c1et c2tels que
c1klog k≤pk≤c2klog k,
pour chaque k≥2.
1

2
(b) Soit ω(n) := #{ppremier :p|n}. Montrez que il existe un constant ctel que
ω(n)≤clog n
log log n,
pour chaque n≥3.
[Indication : Si r=ω(n), montrez que p1· · · pr≤n. Finalement, montrez que
r
j=1 log pj≥c′rlog r, pour un constant c′>0independent de r.]
Problème 6 (Une autre preuve de l’infinitude des nombres premiers).En utilisant la prin-
cipe d’inclusion-exclusion, montrez que
⌊x⌋= #{n≤x}= 1 + 
px
p−
p1<p2x
p1p2+
p1<p2<p3x
p1p2p3∓ · · · ,
où p,p1, p2, p3, . . . dénotent nombres premiers. [Indication : Montrez que #{n≤x:d|x}=
⌊x/d⌋.] Déduisez que si il existe un nombre fini de nombres premiers, alors
1−
p
1
p+
p1<p2
1
p1p2
−
p1<p2<p3
1
p1p2p3
± · · · = 0.
Montrez que cette formule contredit l’assomption que il existe un nombre fini de nombres
premiers.
Problème 7 (Une preuve topologique par Furstenberg de l’infinitude des nombres premiers).
On équipe l’ensemble des nombres entiers avec une topologie, comme suivant :
–∅et Zsont ouverts,
– chaque progression arithmétique S(a, b) := {an +n:n∈Z}est ouvert,
– les unions des ensembles ouverts sont également ouverts.
Montrez que :
(a) Les progressions arithmétiques sont également fermés.
(b) Chaque ensemble fini n’est pas ouvert.
(c) Z\ {−1,1}n’est pas fermé.
(d) Z\ {−1,1}=ppremier S(p, 0).
Concluez que il existe une infinitude des nombres premiers.