MATHF105 Probabilités I. Fiche d`exercices 1.

MATHF105 Probabilités I. Fiche d'exercices 1.
Ex.1 Soit
A
une
σ -algèbra.
Si
Ex.2 Soit
A
une
σ -algèbra.
Si
Ex.3 Soit
B
une
σ -algèbra sur R. Supposons que [a,b] ∈ B
x ∈ R, (ii) (a,b) ∈ B , (iii) [a,∞) ∈ B .
(i)
x∈B
A,B ∈ A
A ∩ B ∈ A, (ii) A\B ∈ A.
T
A1 ,A2 , . . . ∈ A alors i≥1 Ai ∈ A.
alors (i)
A,B ⊂ Ω.
Ex.4 Soient
Ex.5 Soit
A
une
Déterminez la plus petite
σ -algèbre,
a < b.
Montrez que
Montrez que
A ∈ A.
(Ω,A,P ) un
P (A) ≤ P (B).
(Ω,A,P )
telle que
A,B ∈ A.
A1 ,A2 , . . . ∈ A. Soit
\ [
A = lim sup An :=
An .
N ≥1 n≥N
Donnez une interprétation de
Ex.6 Soit
Ex.7 Soit
σ -algèbra A,
et soient
n
implique
pour tout
pour tout
A.
espace de probabilité et soient
un espace de probabilité et soient
A, B ∈ A.
Montrez que
A1 ,A2 , . . . ∈ A.
A ⊂ B
Montrez que
!
[
P
≤
Ai
i≥1
X
P (Ai ).
i≥1
(Ω,A,P ) un espace de probabilité
T et A1 ,A2 , . . . ∈ A
événements, i.e. A1 ⊇ A2 ⊇ · · · telle que
n≥1 An = A. Montrez
Ex.8 Soit
une suite décroissante des
que
P (An ) → P (A).
(Ω,A,P ) un espace de probabilité
P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ). Montrez que
Ex.9 Soit
et
A1 ,A2 , A3 ∈ A.
On a vue que
P (A1 ∪ A2 ) =
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 )
= P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) − P (A1 ∩ A2 ) − P (A1 ∩ A3 ) − P (A2 ∩ A3 )
+ P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ).
Ex.10
Encore plus général. Soit
(Ω,A,P )
un espace de probabilité et
A1 , . . . , An ∈ A.
Montrez que
P (A1 ∪ · · · ∪ An ) =
n
X

!
k=1
Ex.11 Soit
(Ω,A,P )
I⊂{1,...,n}
|I|=k
un espace de probabilité et
Bonferroni :
P (A1 ∪ · · · ∪ An ) ≥
X

k+1
(−1)
n
X
X
1≤i<j≤n
1
\

Ai  .
i∈I
A1 , . . . , A n ∈ A .
P (Ai ) −
k=1
P

Montrez l'inégalité de
P (Ai ∩ Aj ).