MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Exercices, IV (Fonctions arithmétiques)
Problème 1.
(a) Montrez que si fest une fonction arithmétique telle que f(n) = pv∥nf(pv)pour
chaque n∈N, alors fest multiplicative. (On écrit pv∥nsi pv|net pv+1 ∤n.)
(b) Montrez que si fest une fonction arithmétique telle que f(n) = p|nf(p)pour chaque
n∈N, alors
f(mn)f((m, n)) = f(m)f(n) (m, n ∈N).
Déduisez que fest multiplicative.
(c) Montrez que
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n)(m, n)
ϕ((m, n)) (m, n ∈N).
Problème 2. Montrez que :
(a)
d|n
µ(d)
d2=
p|n1−1
p2.
(b)
p1−1
p2−1
=
∞
n=1
1
n2=π2 6.
(Vous n’avez pas besoin de prouver la deuxième égalité.)
(c)
6
π2≤ϕ(n)σ(n) n2≤1 (n∈N).
Problème 3. Montrez que nest un nombre parfait si et seulement si d|n1/d = 2.
Problème 4. Montrez que si n > 2, alors ϕ(n)est un nombre pair.
Problème 5. Pour chaque k≥1, on définit τk= 1 ∗1∗ ··· ∗ 1
kfois
.
(a) Montrez que
τk(n) = #{(d1, d2, . . . , dk)∈Nk:d1d2···dk=n}
(b) Soit pun nombre premier et v≥1. Montrez que τk(pv)est égal au nombre de façons
de choisir (j1, . . . , jk)∈(N∪ {0})ktels que j1+j2+··· +jk=v.
Bonus : Montrez que le nombre de façons de choisir (j1, j2, . . . , jk)est égal à k−1+v
k−1.
Problème 6.
(a) Montrez que
d|n
τ3(d) = 
d|n
τ(d)
2
.
1

2
(b) Si gest multiplicative et f(n) = d|nµ(d)g(n/d), montrez que
f(n) = 
pv∥n
(g(pv)−g(pv−1)).
Problème 7.
(a) Montrez que √n/2≤ϕ(n)≤npour chaque n∈N.
(b) Soient p1< p2< p3<··· tous les nombres premiers. Pour chaque k≥1, on pose
Pk=p1p2···pk. Si Pk+1 > n ≥Pk, montrez que
ϕ(n)
n≥ϕ(Pk) Pk
.
Déduisez que
lim inf
n→∞
ϕ(n)
n/ log log n≥e−γ
en utilisant la formule asymptotique
p≤x1−1
p∼e−γ log x(x→ ∞).
Remarque. Ici γest le constant d’Euler-Mascheroni, défini par
γ= lim
N→∞ N
n=1
1
n−log N= lim
N→∞ N
n=1
1
n−N
1
dt
t.
[Bonus : Pourquoi γest bien défini ?]