MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Exercices, IV (Fonctions arithmétiques)
Problème 1.
∏
(a) Montrez que si f est une fonction arithmétique telle que f (n) = pv ∥n f (pv ) pour
chaque n ∈ N, alors f est multiplicative. (On écrit pv ∥n si pv |n et pv+1 ∤ n.)
∏
(b) Montrez que si f est une fonction arithmétique telle que f (n) = p|n f (p) pour chaque
n ∈ N, alors
f (mn)f ((m, n)) = f (m)f (n) (m, n ∈ N).
Déduisez que f est multiplicative.
(c) Montrez que
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n)
(m, n)
ϕ((m, n))
(m, n ∈ N).
Problème 2. Montrez que :
(a)
∑ µ(d)
d|n
(b)
d2
)
∏(
1
1− 2 .
=
p
p|n
)−1 ∑
∞
∏(
1
1
π2
1− 2
=
=
.
p
n2
6
p
n=1
(Vous n’avez pas besoin de prouver la deuxième égalité.)
(c)
ϕ(n)σ(n)
6
≤
≤ 1 (n ∈ N).
π2
n2
∑
Problème 3. Montrez que n est un nombre parfait si et seulement si d|n 1/d = 2.
Problème 4. Montrez que si n > 2, alors ϕ(n) est un nombre pair.
Problème 5. Pour chaque k ≥ 1, on définit τk = 1| ∗ 1 ∗{z· · · ∗ 1}.
k fois
(a) Montrez que
τk (n) = #{(d1 , d2 , . . . , dk ) ∈ Nk : d1 d2 · · · dk = n}
(b) Soit p un nombre premier et v ≥ 1. Montrez que τk (pv ) est égal au nombre de façons
de choisir (j1 , . . . , jk ) ∈ (N ∪ {0})k tels que j1 + j2 + · · · + jk = v.
(
)
Bonus : Montrez que le nombre de façons de choisir (j1 , j2 , . . . , jk ) est égal à k−1+v
.
k−1
Problème 6.
(a) Montrez que
∑

2
∑
τ 3 (d) = 
τ (d) .
d|n
d|n
1
2
(b) Si g est multiplicative et f (n) =
f (n) =
∑
∏
d|n
µ(d)g(n/d), montrez que
(g(pv ) − g(pv−1 )).
pv ∥n
Problème 7.
(a) Montrez que
√
n/2 ≤ ϕ(n) ≤ n pour chaque n ∈ N.
(b) Soient p1 < p2 < p3 < · · · tous les nombres premiers. Pour chaque k ≥ 1, on pose
Pk = p1 p2 · · · pk . Si Pk+1 > n ≥ Pk , montrez que
ϕ(n)
ϕ(Pk )
.
≥
n
Pk
Déduisez que
ϕ(n)
lim inf
≥ e−γ
n→∞ n/ log log n
en utilisant la formule asymptotique
)
∏(
1
e−γ
∼
1−
(x → ∞).
p
log x
p≤x
Remarque. Ici γ est le constant d’Euler-Mascheroni, défini par
( N
)
( N
)
∑1
∑ 1 ∫ N dt
γ = lim
− log N = lim
−
.
N →∞
N →∞
n
n
t
1
n=1
n=1
[Bonus : Pourquoi γ est bien défini ?]