Corrigé exo2

Corrigé de l’exercice 2
A. Étude en l’absence de frottements
1. Forces extérieures:
– poids, vertical. P mg sin θuxcos θuy; . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . 1
– tension du ressort, dirigée selon ux.T k x x0ux; .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . 0,5
– réaction du plan sur M, normale au plan car il n’y a pas de frottements, donc dirigée selon uy. . . . 0,5
2. ∑Fext ma.
ax0 en x x1mgsin θk x1x00x1x0mgsin θk. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . 1
3. ∑Fext kδxux. ................................................................................. 1
Si δx0 (resp. 0), ∑Fext est dirigée selon ux(resp. ux) et est attractive (resp. répulsive). . . . .. . . . . 0,5
La force ramène toujours Mvers x1, donc l’équilibre est stable. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . 0,5
4. δW∑Fext dxuxmgsin θk x x0dxdEpavec Epmgsin θx x01
2kx x02.
Note: accepter le résultat même si les étudiants utilisent les relations EpP mgz C et EpT1
2kx x02
sans les démontrer, mais rajouter un bonus si le calcul est fait.
Expression de Ep................................................................................. 1
Calcul détaillé de Ep............................................................................. +1
Graphique: il s’agit d’une parabole d’axe uy, tournée vers le haut. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . 0,5
La résultante est attractive à droite du sommet et répulsive à gauche. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. 0,5
5. Équilibre pour un extremum de Ep, c.-à-d. dEp
dxx1mgsin θk x1x00x1x0mg k. 0,5
L’équilibre est stable car il s’agit d’un minimum de Ep(cf. graphique ou bien d2Ep
dx2x1k0). . . . . .. 0,5
6. Question facultative. L’énergie se conserve car les forces sont conservatives, voire ne travaillent pas (réaction
purement normale en l’absence de frottements). . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . +0,5
EmEpEc. En x2, la vitesse est nulle, donc Ec0, d’où Emmgsin θx2x01
2kx2x02. +0,5
EcEmEpmgsin θx2x01
2kx2x02mgsin θx x01 2kx x02. . . . . +0,5
Représentation de Em: constante. . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . +0,25
Représentation de Ec: parabole d’axe uy, tournée vers le bas, nulle quand Epx Emet dont le sommet est à
l’abscisse du sommet de Ep. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . +0,5
L’énergie cinétique (et donc la vitesse) est maximale quand l’énergie potentielle est minimale, c.-à-d. x3
x1. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . +0,25
En x4,Ec0, c.-à-d. Epx4EmEpx2. On obtient x42x1x2, c.-à-d. que x4est le symétrique de x2par
rapport à x1. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . +0,5
Oscillation entre x2et x4. . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . +0,5
B. Étude en présence de frottements
1. Rymgcos θ. ................................................................................ 1
2. Il faut que mgsin θk x x0Rx0, c.-à-d. Rxk x x1. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . 1
Si x x1(resp. x1), Rxdoit être dirigée selon ux(resp. ux). . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . 0,5
3. Rxk x x1µmgcos θ, donc x x6x5avec x6x1µmgcos θket x5x1µmgcos θk. 1,5
4. Question facultative. Mouvement vers les xdécroissants, donc Rxµgcos θ.
Wx7x8Epx7Epx8Rxx8x7Ecx8Ecx7. . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . +1
Ecx70 et Ecx80, donc
mgsin θx7x01
2kx7x02mgsin θx8x01 2kx8x02µgcos θx8x70
1

soit x82mg sin θµcos θk x72x02x1x72µmgcos θk. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . +2
Mreste immobile en x8si x8x6x5, c.-à-d.
x1µmgcos θk2x1x72µmgcos θk x1µmgcos θk
soit x6x7x52µmgcos θk
............................................................................................... +1
Note: la condition x6x7est évidemment vérifiée puisque x7x5et que x5x6.
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