Devoir maison 1 PCSI 2014 - 2015 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'évaluation de la copie. Les résultats et/ou réponses à chaque question doivent être encadrés ou soulignés Exercice : Faire une étude complète de la fonction g dénie par : g(x) = cos(x) − cos2 (x) Problème : Soit f la fonction dénie sur [0, +∞[ par f (x) = x3 − x + 1. 12 1) a) Déterminer la limite de f en +∞. b) Dresser les variations de f . 2) a) Montrer que f s'annule exactement deux fois sur [0, +∞[. On notera β < α. α et β les deux solutions de l'équation f (x) = 0 sur [0, +∞[ avec b) Préciser le signe de f sur [0, +∞[. 3) Ecrire une fonction permettant de calculer l'image d'un réel par f . Tracer la courbe représentative de f . Python : 4) On cherche à obtenir une approximation de β . A cet eet, on introduit la suite (un )n∈N dénie par : ( u0 = 1 ∀n ∈ N, un+1 = 1 + u3n 12 a) Calculer u1 puis démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N, un ∈ [0, β] b) Montrer que : ∀n ∈ N, un+1 − un = f (un ) Que peut-on en déduire sur la monotonie de la suite (un )n∈N ? c) Montrer que la suite (un )n∈N converge vers β . Lycée de l'Essouriau - Les Ulis