feuille de TD n° 6 - Université de Caen

Université de Caen
Année universitaire 2007 - 2008
U.F.R. Sciences
semestre 5
Licence 3 Mathématiques
◦
Espaces métriques, TD n
6
Exercice I
Soit (X, d) un espace métrique complet et f : X → X une application continue. On suppose qu'il existe
un entier n ∈ N∗ tel que l'application f ◦n (f composée n fois avec elle même) est contractante. Montrer
que f admet un unique point xe.
Exercice II
On munit le R-espace vectoriel E := C 0 ([0, 1], R) des applications continues de [0, 1] dans R de la norme
k · k∞ . On considère de plus l'application :
f: E
x
−→ E
Z 1
1
1+
test x(s)ds
7−→
t 7→
2
0
Montrer que f possède un unique point xe x et donner une majoration de kx − xn k∞ où xn est la suite
d'éléments de E dénie par x0 : t 7→ 1 et xn+1 = f (xn ), pour tout n ∈ N.
Exercice III
On note Cb0 (R, R) le R-espace vectoriel des applications continues et bornées de R dans R. Soient λ ∈]0, 1[
et g ∈ Cb0 (R, R).
1. Montrer qu'il existe une unique fonction f ∈ Cb0 (R, R) telle que :
∀x ∈ R, f (x) = λf (x + 1) + g(x).
2. Exprimer f en fonction de g .
Exercice IV
Soient (E, k · k) un espace vectoriel normé, K un compact non vide de E et F un fermé non vide de E .
1. Montrer que si F est compact, alors il existe (k, f ) ∈ K × F tels que d(k, f ) = d(K, F ).
2. Montrer qu'il existe (k1 , k2 ) ∈ K 2 tels que d(k1 , k2 ) = diam(K).
3. On suppose ici E = Rn ; montrer que dans ce cas il existe (k, f ) ∈ K ×F tels que d(k, f ) = d(K, F ).
Exercice V
Montrer que dans un espace vectoriel normé, la boule unité fermée est compacte si et seulement si la
sphère unité est compacte.
Exercice VI
Soit (E, d) un espace métrique. On considère une suite (Kn )n∈N décroissante de compacts non vides de
E , c'est-à-dire vériant, pour tout n entier naturel : Kn+1 ⊆ Kn .
1. Montrer que ∩n∈N Kn est compact.
2. Soit (un )n∈N une suite d'éléments de E telle que, pour tout n ∈ N on ait un ∈ Kn .
(a) Montrer que si (uϕ(n) )n∈N est une sous-suite de (un )n∈N , alors pour tout n ∈ N, on a uϕ(n) ∈
Kn .
(b) En déduire que ∩n∈N Kn est un compact non vide de E .
3. Soit O un ouvert de E contenant ∩n∈N Kn , montrer qu'il existe n ∈ N tel que kn ⊆ O.
Exercice VII
Soit f et g deux fonctions réelles continues sur un espace métrique compact X , telles que f soit positive
sur X et strictement positive sur g −1 (] − ∞, 0]). Montrer qu'il existe une constante A > 0 telle que
∀x ∈ X,
A · f (x) + g(x) > 0.
(Indication : raisonner par l'absurde, et considérer les ensembles An = {x ∈ X | n · f (x) + g(x) ≤ 0}).
Exercice VIII
Soient (E, k · k) un espace vectoriel normé et A et B deux parties de E . On note :
A + B := {a + b | (a, b) ∈ A × B}.
1. Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert.
2. Montrer que si A est compact et B fermé, alors A + B est fermé.
3. Montrer que si A et B sont compact, alors A + B est compact.
4. On munit R × R de la norme euclidienne et on pose :
A := {(a, b) ∈ R × R | a > 0 et ab = 1} et B := {(a, b) ∈ R × R | a = 0 et b ≤ 0}.
Déterminer la nature topologique de A, B et A + B .
Exercice IX
Soit n ∈ N∗ . On se place dans le R-espace vectoriel Mn (R) des matrices de taille n × n munit de la
norme k · k∞ , c'est-à-dire si A(ai,j )1≤i,j≤n alors kAk∞ = max1≤i,j≤n |ai,j |. Les ensembles Mn (R) et
On (R) (ensemble des matrices orthogonales) sont-ils compacts ?
Exercice X
On munit R de la norme euclidienne. Donner la nature topologique (ouvert, fermé, compact) des
ensembles suivants :
2
1. A := {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 − 2xy ≤ 1}
2. B := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 + exy ≤ 36}
3. C := {(x, y) ∈ R2 | 2x2 + 3y 2 < 1}
Exercice XI
1. Soit (E, d) un espace métrique et (xn )n≥0 une suite d'éléments de E qui converge vers a ∈ E .
Montrer que K = {xn | n ≥ 0} ∪ {a} est un compact de E .
2. Soit (E, d) un espace métrique compact et (xn )n≥0 une suite d'éléments de E qui possède une
seule valeur d'adhérence a dans E . Montrer que cette suite converge vers a.