8 Lois à densités - Mathématiques pour le Bac

8 Lois à densités
8.1 Loi à densité sur un intervalle
Dans de nombreux domaines, on est amené à étudier des variables pouvant prendre toute valeur réelle
dans un intervalle I de R (du moins théoriquement).
Définition : Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue associe un nombre
réel d’un intervalle I de R.
Exemple : On peut définir la variable aléatoire X égale à la durée de vie d’une machine exprimée en
heures. Cette durée peut prendre toute valeur réelle dans l’intervalle I = [0 ; 20 000]. On va alors étudier
des probabilités sous la forme : P (X > 8 000) ou P (0 < X < 12 000). Pour cela on utilise une fonction
f définie sur I et de courbe représentative C.
Définition : Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle I = [a ; b] et f une
fonction continue et positive sur I telle que :
Z
b
f (t) dt = 1
a
Dire que P est la loi de probabilité de densité f de X signifie que pour tous réels c et d de I tels
que : a 6 c 6 d 6 b, on a :
Z d
f (t) dt
P (c 6 X 6 d) =
c
On dit que f est la fonction de densité de probabilité sur I.
Représentation graphique :
y
y
a
b x
a c
P (a 6 X 6 b) = 1
b x
d
P (c 6 X 6 d)
Remarque : P (c 6 X 6 d) est l’intégrale de c à d de f , c’est-à-dire l’aire sous la courbe de f (aire du
domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe et les droites d’équations x = c et x = d).
Conséquences : • P (a 6 X 6 b) = 1.
• Pour tout réel c ∈ I, P (X = c) = 0 (en effet P (X = c) = P (c 6 X 6 c) =
Z
c
f (t) dt = 0).
c
• Pour tous réels c et d de I, avec c 6 d :
P (c 6 X 6 d) = P (c < X 6 d) = P (c 6 X < d) = P (c < X < d)
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Espérance
Définition : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X de densité f sur [a; b] est le nombre
réel :
Z
b
E(X) =
a
t × f (t) dt
8.2 Loi uniforme sur l’intervalle [a ; b]
Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi uniforme sur l’intervalle [a ; b]
signifie que la densité de probabilité de la loi X est une fonction constante sur [a ; b].
Propriété : La densité de probabilité de la loi uniforme sur[a ; b] est la fonction constante f définie
1
sur [a ; b] par : f (x) =
b−a
Preuve
Z
b
: Une fonction constante sur [a ; b] est définie pour tout x ∈ [a ; b] par f (x) = λ ; or on a nécessairement :
f (t) dt = 1, soit
a
Z
b
a
λ dt = [λt]ba = λ b − λ a = λ(b − a) = 1, d’où λ =
1
.
b−a
Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b], alors pour tout intervalle
d−c
[c ; d] inclus dans [a ; b] : P (c 6 X 6 d) =
.
b−a
Z d
h
id
Preuve : P (c 6 X 6 d) =
c
1
dt =
b−a
1
t
b−a
=
c
1
1
1
d−c
d−
c=
(d − c) =
.
b−a
b−a
b−a
b−a
Espérance
Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b] est :
E(X) =
Preuve : E(X) =
Z
b
t×f (t) dt =
a
Z
a
b
t
1
dt =
b−a
h
a+b
2
ib
1
1
× t2
b−a
2
=
a
1
1
1
1
a+b
×
(b2 −a2 ) = ×
(b−a)(b+a) =
.
2 b−a
2 b−a
2
Exemple : Choisir un nombre au hasard dans l’intervalle [a ; b] c’est choisir selon la loi uniforme sur [a ; b] ;
a+b
.
l’espérance est la moyenne arithmétique des nombres a et b : µ =
2
1
En particulier pour la loi uniforme sur [0 ; 1] l’espérance est .
2
8.3 Loi normale centrée réduite : N (0 ; 1)
L’observation de représentations graphiques de certaines loi binomiales B(n ; p), pour n suffisamment
grand, conduit à une nouvelle loi appelée loi normale.
Définition : La loi normale centrée réduite, notée N (0 ; 1), est la loi continue ayant pour densité de
probabilité la fonction définie pour tout réel x de R :
x2
1
f (x) = √ e− 2
2π
Propriétés : • f est continue sur R.
• Pour tous nombres réels a et b : P (a 6 X 6 b) =
Z
b
f (t) dt.
a
• L’aire sous la courbe est égale à 1 ; elle représente la probabilité que X prenne une valeur réelle
quelconque : P (X ∈ R) = P (X ∈] − ∞ ; +∞[) = 1.
Courbe représentative de f :
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x
x2
f est dérivable et f ′ (x) = − √ e− 2 , f ′ (0) = 0 et pour tout réel x, f ′ est du signe opposé à t ; ainsi
2π
la fonction f est strictement croissante sur ] − ∞ ; 0], puis est strictement décroissante sur [0 ; +∞[ ; elle
1
atteint donc son maximum en 0 : f (0) = √ .
2π
y
1
√
2π
x
La représentation graphique de la fonction f est une « courbe en cloche », appelée courbe de Gauss. Elle
est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
(−x)2
x2
1
1
Preuve : Pour tout réel x, f (−x) = √ e− 2 = √ e− 2 = f (x), donc si le point M (x ; y) appartient à la courbe f ,
2π
2π
alors M ′ (−x ; y) appartient aussi à la courbe de f . Propriété : Pour tout réel a :
P (X 6 − a) = P (X > a) = 1 − P (X 6 a)
Preuve : L’égalité P (X 6 − a) = P (X > a) est une conséquence directe de la symétrie de la courbe démontrée précédemment.
f étant la densité de probabilité de la loi binomiale, l’aire sous la courbe est égale à 1, alors :
P (x ∈ R) = 1 , donc P (X 6 − a) + P (X > −a) = P (X 6 − a) + P (X > − a) = 1
or par symétrie de la courbe P (X > − a) = P (X 6 a), d’où P (X 6 − a) + P (X 6 a) = 1 et par suite P (X 6 − a) =
1 − P (X 6 a). y
y
a
x
P (X 6 a)
a
y
b x
P (a 6 X 6 b)
a
x
P (X > a)
Propriété : Valeur à connaître :
P (−1,96 6 X 6 1,96) ≈ 0,95
Cela signifie que lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite, la probabilité que
X soit compris entre -1,96 et 1,96 est égale à 0,95, ou encore que 95 % des valeurs d’une variable aléatoire
suivant une loi normale centrée réduite sont comprises entre -1,96 et 1,96.
8.4 Loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ : N (µ ; σ 2)
Définition : On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance µ et d’écart-type
X −µ
σ, notée N (µ ; σ 2 ), si, et seulement si, la variable aléatoire : T =
suit la loi normale centrée
σ
réduite N (0 ; 1).
Propriété (admise) : Si une variable aléatoire suit une loi normale N (µ ; σ 2 ), alors son espérance est
µ, sa variance est σ 2 et son écart-type est σ.
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Représentation graphique de la loi N (µ ; σ 2 )
La courbe représentative de la fonction densité de la loi N (µ; σ 2 ) est une courbe « en cloche » symétrique
par rapport à la droite d’équation x = µ et d’autant plus « resserrée » autour de son axe de symétrie
que σ est petit.
Allure de la courbe :
– pour un même écart type σ ;
– pour une même espérance µ.
y
y
µ = 15
µ = 30
µ = 45
σ=5
σ = 10
σ = 20
15
30
Valeurs à connaître :
45
x
x
µ
1. P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≈ 0,683
2. P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≈ 0,954
3. P (µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) ≈ 0,997
Interprétation : Cela signifie que, dans le cadre d’une loi N (µ ; σ 2 ) :
1. environ 68,3 % des valeurs sont distantes d’un écart-type σ au plus de l’espérance µ ;
2. environ 95,4 % des valeurs sont distantes de l’espérance µ d’au plus deux fois l’écart-type ;
3. et que la probabilité d’obtenir une valeur distante de plus de trois fois l’écart-type est presque
nulle, soit inférieure à 0,3 %.
y
68,3 %
µ
68,3 %
µ−σ
µ − 2σ
µ+σ
95,4 %
µ + 2σ
99,7 %
µ − 3σ
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x
µ + 3σ
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