8 Lois à densités - Mathématiques pour le Bac

8 Lois à densités
8.1 Loi à densité sur un intervalle
Dans de nombreux domaines, on est amené à étudier des variables pouvant prendre toute valeur réelle
dans un intervalle Ide R(du moins théoriquement).
Définition : Une variable aléatoire continue Xest une fonction qui à chaque issue associe un nombre
réel d’un intervalle Ide R.
Exemple : On peut définir la variable aléatoire Xégale à la durée de vie d’une machine exprimée en
heures. Cette durée peut prendre toute valeur réelle dans l’intervalle I= [0 ; 20 000]. On va alors étudier
des probabilités sous la forme : P(X>8 000) ou P(0 < X < 12 000). Pour cela on utilise une fonction
fdéfinie sur Iet de courbe représentative C.
Définition : Soit Xune variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle I= [a;b] et fune
fonction continue et positive sur Itelle que :
Zb
a
f(t) dt= 1
Dire que Pest la loi de probabilité de densité fde Xsignifie que pour tous réels cet dde Itels
que : a6c6d6b, on a :
P(c6X6d) = Zd
c
f(t) dt
On dit que fest la fonction de densité de probabilité sur I.
Représentation graphique :
xa b
y
P(a6X6b) = 1
xa b cd
y
P(c6X6d)
Remarque :P(c6X6d) est l’intégrale de càdde f, c’est-à-dire l’aire sous la courbe de f(aire du
domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe et les droites d’équations x=cet x=d).
Conséquences :•P(a6X6b) = 1.
•Pour tout réel c∈I,P(X=c) = 0 (en effet P(X=c) = P(c6X6c) = Zc
c
f(t) dt= 0).
•Pour tous réels cet dde I, avec c6d:
P(c6X6d) = P(c < X 6d) = P(c6X < d) = P(c < X < d)
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Espérance
Définition :L’espérance mathématique d’une variable aléatoire Xde densité fsur [a;b] est le nombre
réel :
E(X) = Zb
a
t×f(t) dt
8.2 Loi uniforme sur l’intervalle [a;b]
Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue Xsuit la loi uniforme sur l’intervalle [a;b]
signifie que la densité de probabilité de la loi Xest une fonction constante sur [a;b].
Propriété : La densité de probabilité de la loi uniforme sur[a;b] est la fonction constante fdéfinie
sur [a;b] par : f(x) = 1
b−a
Preuve : Une fonction constante sur [a;b] est définie pour tout x∈[a;b] par f(x) = λ; or on a nécessairement :
Zb
a
f(t) dt= 1, soit Zb
a
λdt= [λt]b
a=λ b −λ a =λ(b−a) = 1, d’où λ=1
b−a.
Propriété : Soit Xune variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b], alors pour tout intervalle
[c;d] inclus dans [a;b] : P(c6X6d) = d−c
b−a.
Preuve :P(c6X6d) = Zd
c
1
b−adt=h1 b−atid
c
=1
b−ad−1 b−ac=1 b−a(d−c) = d−c b−a.
Espérance
Propriété :L’espérance d’une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b] est :
E(X) = a+b
2
Preuve :E(X) = Zb
a
t×f(t) dt=Zb
a
t1
b−adt=h1 b−a×1 2t2ib
a
=1
2×1 b−a(b2−a2) = 1 2×1 b−a(b−a)(b+a) = a+b 2.
Exemple : Choisir un nombre au hasard dans l’intervalle [a;b] c’est choisir selon la loi uniforme sur [a;b] ;
l’espérance est la moyenne arithmétique des nombres aet b:µ=a+b
2.
En particulier pour la loi uniforme sur [0 ; 1] l’espérance est 1
2.
8.3 Loi normale centrée réduite : N(0 ; 1)
L’observation de représentations graphiques de certaines loi binomiales B(n;p), pour nsuffisamment
grand, conduit à une nouvelle loi appelée loi normale.
Définition : La loi normale centrée réduite, notée N(0 ; 1), est la loi continue ayant pour densité de
probabilité la fonction définie pour tout réel xde R:
f(x) = 1
√2πe−x2
2
Propriétés :•fest continue sur R.
•Pour tous nombres réels aet b:P(a6X6b) = Zb
a
f(t) dt.
•L’aire sous la courbe est égale à 1 ; elle représente la probabilité que Xprenne une valeur réelle
quelconque : P(X∈R) = P(X∈]− ∞ ; +∞[) = 1.
Courbe représentative de f:
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fest dérivable et f′(x) = −x
√2πe−x2
2,f′(0) = 0 et pour tout réel x,f′est du signe opposé à t; ainsi
la fonction fest strictement croissante sur ] − ∞ ; 0], puis est strictement décroissante sur [0 ; +∞[ ; elle
atteint donc son maximum en 0 : f(0) = 1
√2π.
x
y1
√2π
La représentation graphique de la fonction fest une « courbe en cloche », appelée courbe de Gauss. Elle
est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Preuve : Pour tout réel x,f(−x) = 1
√2πe−(−x)2
2=1
√2πe−x2
2=f(x), donc si le point M(x;y) appartient à la courbe f,
alors M′(−x;y) appartient aussi à la courbe de f.
Propriété : Pour tout réel a:
P(X6−a) = P(X>a) = 1 −P(X6a)
Preuve : L’égalité P(X6−a) = P(X>a) est une conséquence directe de la symétrie de la courbe démontrée précédem-
ment.
fétant la densité de probabilité de la loi binomiale, l’aire sous la courbe est égale à 1, alors :
P(x∈R) = 1 , donc P(X6−a) + P(X > −a) = P(X6−a) + P(X>−a) = 1
or par symétrie de la courbe P(X>−a) = P(X6a), d’où P(X6−a) + P(X6a) = 1 et par suite P(X6−a) =
1−P(X6a). 
x
y
a
P(X6a)
x
y
ab
P(a6X6b)
x
y
a
P(X>a)
Propriété : Valeur à connaître :
P(−1,96 6X61,96) ≈0,95
Cela signifie que lorsqu’une variable aléatoire Xsuit une loi normale centrée réduite, la probabilité que
Xsoit compris entre -1,96 et 1,96 est égale à 0,95, ou encore que 95 % des valeurs d’une variable aléatoire
suivant une loi normale centrée réduite sont comprises entre -1,96 et 1,96.
8.4 Loi normale d’espérance µet d’écart-type σ:N(µ;σ2)
Définition : On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi normale d’espérance µet d’écart-type
σ, notée N(µ;σ2), si, et seulement si, la variable aléatoire : T=X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N(0 ; 1).
Propriété (admise) : Si une variable aléatoire suit une loi normale N(µ;σ2), alors son espérance est
µ, sa variance est σ2et son écart-type est σ.
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Représentation graphique de la loi N(µ;σ2)
La courbe représentative de la fonction densité de la loi N(µ;σ2) est une courbe « en cloche » symétrique
par rapport à la droite d’équation x=µet d’autant plus « resserrée » autour de son axe de symétrie
que σest petit.
Allure de la courbe :
– pour un même écart type σ; – pour une même espérance µ.
x
y
15
µ= 15
30
µ= 30
45
µ= 45
x
y
µ
σ= 20
σ= 10
σ= 5
Valeurs à connaître :1. P (µ−σ6X6µ+σ)≈0,683
2. P (µ−2σ6X6µ+ 2σ)≈0,954
3. P (µ−3σ6X6µ+ 3σ)≈0,997
Interprétation : Cela signifie que, dans le cadre d’une loi N(µ;σ2) :
1. environ 68,3 % des valeurs sont distantes d’un écart-type σau plus de l’espérance µ;
2. environ 95,4 % des valeurs sont distantes de l’espérance µd’au plus deux fois l’écart-type ;
3. et que la probabilité d’obtenir une valeur distante de plus de trois fois l’écart-type est presque
nulle, soit inférieure à 0,3 %.
x
y
µ
68,3 %
µ−σµ+σ
68,3 %
µ−2σ µ + 2σ
95,4 %
µ−3σ µ + 3σ
99,7 %
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