Classe de Terminale S Mathématiques Thème abordé : Loi Normale

Classe de Terminale S
Mathématiques
Thème abordé : Loi Normale
Pré-requis :
Exercice 1 : Vrai- Faux : Loi Normale Centrée Réduite :
Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l’affirmation est vraie) ou la case F (l’affirmation
est fausse).
Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles suivant la loi N (0,1).
Affirmation V F
1. E( X ) = 0 et V ( X ) = 1
2. La densité f de X vérifie : Pour tout x réel :
f(x)=e
−x2
2
3. P ( X ≥ 0 ) = P ( X ≤ 0 ) =
1
2
4. P ( X ≤ -1 ) = 0,5 – P ( -1 ≤ X ≤ 0)
5. En utilisant la calculatrice, P ( X ≤ 1 ) donne au millième prés 0,341.
6. En utilisant la calculatrice, P ( X ≥ 0,5 ) donne au millième prés 0,308.
Exercice 2 : Q.CM :Loi Normale
( )
2
;N µ σ
:
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte.
QUESTION RÉPONSE
1. Soit X une variable aléatoire à valeurs
réelle suivant la loi
( )
2
;N µ σ
. La variable
aléatoire
X − µ
σ
1. Suit la Loi N(0,1)
2. a pour espérance 1
3. a pour écart-type 0
2. Une variable aléatoire X suit une loi
normale d’espérance 9 et d'écart-type 2.
P ( X ≥ 9 ) est :
1. Égale à 0,5
2. Strictement supérieur à 0,5
3. Strictement inférieur à 0,5
3. Une variable aléatoire X suit une loi
normale d'espérance 10 et d'écart-type 3.
Soit Z la variable centrée réduite associée,
Z est égale à :
1.
X−10
3
2. X -
10
3
3.
X
3
- 10
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4. Une variable aléatoire X suit une loi
normale d'espérance 30 et d'écart-type 2.
Z la variable centrée réduite associée.
P ( X ≤ 60 ) est égale à :
1. P ( Z ≤ -15 )
2. P ( Z ≤ 30 )
3. P ( Z ≤ 15 )
Exercice 3 :
Les températures du mois de juillet autour d'un lac suivent la loi normale d’espérance 18,2 °C et
d'écart-type 3,6°. Une personne part camper en juillet sur le pourtour du lac. Lui indiquer la
probabilité que la température un jour de juillet :
1. Soit inférieur à 16°C.
2. Soit comprise entre 20°C et 24,5°C .
3. Soit supérieur à 21°C.
Exercice 4 :
Dans une entreprise qui emploie 220 salariés, on s’intéresse à la probabilité qu'un salarié soit
absent une période d'épidémie de grippe.
La probabilité qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est
égale à p=0,05.
On suppose que l’état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On
désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l'espérance mathématique μ et l'écart-type σ de la variable aléatoire X.
2. On admet que lue l'on peut approcher la variable aléatoire
X − µ
σ
par la loi normale centrée
réduite c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. On note Z une variable aléatoire suivant une loi
normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l’événement Z ˂
x
pour quelques valeurs du nombre réel
x
.
x
-1,55 -1,24 -0,93 -0,62 -0,31 0 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55
P( Z ˂
x
) 0,06 0,11 0,18 0,27 0,38 0,5 0,62 0,73 0,82 0,89 0,94
Calculer, au moyen de l'approximation proposée, la valeur approchée à
10−2
près de la probabilité
de l’événement : « le nombre de salariées absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée
est supérieur ou égale à 7 et inférieur ou égale à 15 ».
Exercice 5:
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Il est prévu que
l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 Km.
On suppose que l'autonomie, exprimée en Km, permise par ces batteries suit une loi normale
d’espérance μ = 200 et σ = 40. Sur un parcours joignant une ville située à 160 Km,
1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième près, de ne pas atteindre cette ville ?
2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries
est-elle supérieur à 0,01 ? Justifiez votre réponse.
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