Ch. 07 Lois de Probabilité I – LOI BINOMIALE Définition Une loi binomiale de paramètres n et p est notée B (n, p). Son espérance mathématique est : E(X) = np . Sa variance est : V (X) = npq = np(1 − p) . € € Ch. 07 Lois de Probabilité 1 II – LOIS A DENSITE A- loi continue Approche Dans le cas précédent, la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs. Pour un grand nombre d’expériences aléatoires, les issues prennent pour valeur un nombre quelconque situé dans un intervalle I de IR (exemples : le temps d’attente téléphonique à un service, le taux d’alcoolémie …) B- Densité sur un intervalle [ a ; b ] Définition On appelle fonction de densité sur un intervalle [a ; b], (a < b), toute fonction f définie, continue et positive sur [a ; b] et telle que l’intégrale de cette fonction sur [a ; b] est égale à 1. ∫ Exemple b a f (x)dx = 1 € Soit f la fonction continue et positive sur [0 ; 2] définie par f (x) = x . Montrer que f est une 2 fonction de densité sur [0 ; 2]. € Définition Soit X la variable aléatoire à valeurs dans [a ; b], munie d’une fonction de densité f. On définit la loi de probabilité sur [a ; b] de densité f, en associant à tout intervalle [c ; d] inclus dans [a ; b], la probabilité que X appartienne à l’intervalle [c ; d] : P(X ∈[c ; d]) = P(c ≤ x ≤ d) = € ∫ d c f (x)dx . Propriétés • Pour tout nombre réel c de [a ; b], P({c}) = 0 . • Pour tout nombre réel c de [a ; b], P(X ∈[c ; b]) = 1 − P(X ∈[a ; c]) € € Ch. 07 Lois de Probabilité 2 C- Loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] Définition et conséquences On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a ; b], lorsque sa densité est constante sur [a ; b]. La fonction de densité f de la loi uniforme sur l’intervalle [a ; b] est définie par f (x) = 1 . b−a Propriétés • Pour tout intervalle [c ; d] de [a ; b], on en déduit : P(X ∈[c ; d]) = ∫ d c € 1 d −c . dx = b−a b−a • L’espérance de la loi uniforme sur [a ; b] est définie par : € E(X) = b ∫ a x f (x)dx = 1 b−a ∫ b a x dx = 1 ⎛ b 2 a 2 ⎞ a + b . ⎜ − ⎟ = b − a ⎝ 2 2 ⎠ 2 € III – LOI NORMALE N (0 ; 1) Approche d’une densité par la loi binomiale Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n ; p), d’espérance µ = np et d’écart type σ = npq = np(1 − p) , avec 0 < p < 1. € Soit la variable aléatoire Z = € € X −µ a−µ b−µ , alors P(a ≤ X ≤ b) = P(c ≤ Z ≤ d) , où c = et d = . σ σ σ € € Ch. 07 Lois de Probabilité € 3 Définition Une variable aléatoire X, d’espérance µ = 0 et d’écart type σ=1, suit la loi normale centrée réduite, notée N (0 ; 1) lorsqu’elle admet pour fonction de densité la fonction f définie sur IR par : 2 1 − x2 f (x) = e . 2π Propriétés (1) f est continue sur IR. € (2) Pour tous nombres réels a et b, P(a ≤ X ≤ b) = ∫ b a f (x)dx . (3) L’aire totale sous la courbe est égale à € 1 ; elle représente la probabilité P(X ∈ ] −∞ ; + ∞ [) . (4) La courbe de f est symétrique par € rapport à l’axe des ordonnées, donc 1 P(X ∈ [0 ; + ∞[) = . 2 On dit que la courbe de f est une € courbe en cloche. (5) Pour tout nombre réel u : P(X ≤ −u) = 1 − P(X > −u) , or pour des raisons de symétrie € € € P(X > −u) = P(X ≤ u) donc P(X ≤ −u) = 1 − P(X ≤ u) . (6) Cas particuliers : avec la calculatrice, on obtient : P(X ∈[−1 ; 1]) ≈ 0,68. P(X ∈[−1,96 ; 1,96]) ≈ 0,95. € € P(X ∈[−2 ; 2]) ≈ 0,954. P(X ∈[−3 ; 3]) ≈ 0,997. € € Ch. 07 Lois de Probabilité 4 IV – LOI NORMALE N (µ ; σ2) A- Loi Normale Définition Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ ; σ2) lorsque la variable aléatoire T = X −µ suit la σ loi normale N (0 ; 1). € Propriétés Si la variable aléatoire X suit la loi normale N (µ ; σ2) alors son espérance est E(X) = µ et son écart type est σ. € Remarque Si la variable aléatoire X suit la loi normale N (µ ; σ2) alors la fonction F définie sur IR par F(x) = P(X ≤ x) est strictement croissante sur IR. De plus, F( µ) = P(X ≤ µ) = 0,5 . B- Critères de normalité € € Définition Si la variable aléatoire X suit la loi normale N (µ ; σ2) alors : ☞ P(X ∈[ µ − σ ; µ + σ ]) ≈ 0,68 € ☞ P(X ∈[ µ − 2σ ; µ + 2σ ]) ≈ 0,954 € ☞ P(X ∈[ µ − 3σ ; µ + 3σ ]) ≈ 0,997 € Ch. 07 Lois de Probabilité 5