Chapitre VI - Variable Aléatoire 1 Définition 2 Loi de probabilité d

Chapitre VI - Variable Aléatoire
1 Définition
Définition 1. Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Définir une variable aléatoire X sur E, c’est associer un réel à chaque issue de E.
Exemple 1. On lance successivement deux pièces bien équilibrées.
On reprend l’ensemble d’issues E1 = {PP ; PF ; FP ; FF } et on donne les règles du jeu suivantes :
→
si on obtient 2 pile, on gagne 4 €
→
si on obtient 1 seul pile, on gagne 1 €
→
si on n’obtient aucun pile, on perd 3 €
On définit ainsi une variable aléatoire X sur E = {PP ; PF ; FP ; FF }. Les valeurs prises par X appartiennent à l’ensemble {4 ; 1; −3}.
2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition 2. Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Soit X une variable aléatoire sur E prenant les valeurs {x1 ; x2 ; ; xN }.
Définir une loi de probabilité P de X, c’est associer, à chaque valeur xi, des nombres pi = P (X = xi) tels que :
0 6 P (X = xi) 6 1
et
P (X = x1) + P (X = x2) + + P (X = xN ) = 1
Chaque P (X = xi) est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues associées au nombre xi.
Exemple 1. Définir la loi de probabilité de X
1
on dit que « la probabilité que X = 4 » est égale à « la probabilité d’avoir PP »
→
4 € est associé à PP donc P (X = 4) = P (PP ) = 4
→
1 € est associé à PF et FP donc P (X = 2) = P (PF ; FP ) = 4 = 2
→
−3 € est associé à FF donc P (X = −3) = P (FF ) = 4
2
1
1
On en déduit le tableau de la loi de probabilité de X :
Valeurs xi prises par X
4
1
−3
Probabilités pi = P (X = xi)
1
4
1
2
1
4
3 Espérance, variance et écart-type
Définition 3. et Propriété Pour une loi de probabilité de la variable aléatoire X :
N
P
• l’espérance de X : E(X)= pi x i
•
i=1
n
P
la variance de X : V (X) =
pi (xi − E(X))2
V (X) =
i=1
•
l’écart-type de X : σ(X) =
p
n
P
i=1
pi x2i − E(X)2 = E(X 2) − E(X)
V (X)
Exemple 1.
→
1
1
1
3
E(X) = P (X = 4) × 4 + P (X = 1) × 1 + P (X = −3) × (−3) = 4 × 4 + 2 × 1 + 4 × (−3) = 4
L’espérance de gain est donc égale à 0,75 €, autrement dit, pour un grand nombre d’expériences, on gagnera en moyenne 0,75 €.
→
1
1
1
9
V (X) = P (X = 4) × 42 + P (X = 1) × 12 + P (X = −3) × (−3)3 = 4 × 16 + 2 × 1 + 4 × 9 = 4
q
9
3
et σ(X) = 4 = 2