Chapitre VI - Variable Aléatoire 1 Définition 2 Loi de probabilité d

Chapitre VI - Variable Aléatoire
1 Définition
Définition 1. Soit El’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Définir une variable aléatoire Xsur E, c’est associer un réel à chaque issue de E.
Exemple 1. On lance successivement deux pièces bien équilibrées.
On reprend l’ensemble d’issues E1={PP ;PF ;FP ;FF }et on donne les règles du jeu suivantes :
→si on obtient 2 pile, on gagne 4 €
→si on obtient 1 seul pile, on gagne 1 €
→si on n’obtient aucun pile, on perd 3 €
On définit ainsi une variable aléatoire Xsur E={PP ;P F ;FP ;FF }. Les valeurs prises par Xappartiennent à l’ensemble {4; 1; −3}.
2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition 2. Soit El’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Soit Xune variable aléatoire sur Eprenant les valeurs {x1;x2; ; xN}.
Définir une loi de probabilité Pde X, c’est associer, à chaque valeur xi, des nombres pi=P(X=xi)tels que :
06P(X=xi)61et P(X=x1) + P(X=x2) + +P(X=xN) = 1
Chaque P(X=xi)est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues associées au nombre xi.
Exemple 1. Définir la loi de probabilité de X
→4€est associé à P P donc P(X= 4) = P(PP ) = 1
4on dit que « la probabilité que X= 4 » est égale à « la probabilité d’avoir PP »
→1€est associé à P F et FP donc P(X= 2) = P(PF ;F P ) = 2
4=1
2
→ −3€est associé à FF donc P(X=−3) = P(FF ) = 1
4
On en déduit le tableau de la loi de probabilité de X:
Valeurs xiprises par X4 1 −3
Probabilités pi=P(X=xi)1
4
1
2
1
4
3 Espérance, variance et écart-type
Définition 3. et Propriété Pour une loi de probabilité de la variable aléatoire X:
•l’espérance de X: E(X)= P
N
i=1
pixi
•la variance de X:V(X) = P
n
i=1
pi(xi−E(X))2V(X) =P
n
i=1
pixi
2−E(X)2=E(X2)−E(X)
•l’écart-type de X:σ(X) = V(X)
p
Exemple 1.
→E(X) = P(X= 4) ×4 + P(X= 1) ×1 + P(X=−3) ×(−3) = 1
4×4 + 1 2×1 + 1 4×(−3) = 3 4
L’espérance de gain est donc égale à 0,75 €, autrement dit, pour un grand nombre d’expériences, on gagnera en moyenne 0,75 €.
→V(X) = P(X= 4) ×42+P(X= 1) ×12+P(X=−3) ×(−3)3=1
4×16 +1 2×1 + 1 4×9 = 9 4
et σ(X) = 9
4
q=3
2