DS n°2

Année Scolaire 2016 – 2017
MATHÉMATIQUES MPSI3
DS N˚2
Samedi 08/10/2016 (4h)
Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir
par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention
particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les
résultats doivent être encadrés .
La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Problème 1 : géométrie et trigonométrie
Les deux parties de ce problème sont indépendantes.
Partie I : géométrie
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct ( O,−→ u,−→ v ), on considère un rectangle ABCD tel que
AB =p2 , AD = 1 et (
−−→
AB ,−−→ AD ) ≡π
2
( mod 2 π ). I désigne le milieu de [ AB ]. On notera a , b , c et d les affixes
respectives des points A , B , C et D . On note S une similitude directe qui, au point M d’affixe z , associe le
point M0d’affixe z0telle que z0=αz+β, où αet βsont des nombres complexes avec αnon nul.
Q1) a) Soient zet z0deux complexes, montrer que |z|2−|z0|2=Re¡(z+z0)(z−z0)¢.
b) Soient −→ wet −→ w0deux vecteurs d’affixes respectives zet z0, montrer que :
−→
w⊥−→ w0⇐⇒ Re(z×z0)=0
Q2) Soit (E) l’ensemble des points M du plan tels que MD2−MB2=1.
a) Vérifier que les points C et I appartiennent à (E).
b) Soit M d’affixe z, montrer que M appartient à (E) si et seulement si :
Re¡(d+b−2z)(d−b)¢=Re¡(d+b−2c)(d−b)¢
c) En déduire que M(z)∈(E) ⇐⇒ −−→ CM ⊥−−→ DB .
d) Que dire alors des droites (BD) et (CI)?
Q3) Déterminer les nombres complexes αet βpour que S(D) =C et S(C) =B.
1

Q4) Déterminer l’angle et le rapport de la similitude S. En déduire l’expression de α.
Q5) Soit Ωle centre de la similitude S. Montrer que Ωest sur le cercle de diamètre [CD].
Q6) Montrer que Ωest sur la droite (BD). Faire une figure.
Q7) a) Exprimer cet den fonction de aet b. Quelle est l’affixe de I en fonction de aet b?
b) Exprimer le coefficient βen fonction de aet b, en déduire que S(B) =I.
c) Donner alors une autre justification de la propriété des droites (BD) et (CI) établie en Q2d.
Partie II : une formule trigonométrique
Soit u=exp(2iπ
7). On pose S =u+u2+u4et T =u3+u5+u6.
Q8) Justifier les égalités : u7=1 et u=1
u.
Q9) En déduire sans calculs que S et T sont conjugués.
Q10) Sans calcul numérique, montrer que la partie imaginaire de S est positive.
Q11) Simplifier S +T et S ×T.
Q12) En déduire la valeur de S et celle de T.
Q13) a) À l’aide des formules d’Euler, montrer que : itan¡2π
7¢=u2−1
u2+1=−
6
P
k=1(−u2)k;
b) Vérifier que 4isin¡4π
7¢=2(u2−u5).
Q14) En déduire que 4sin¡4π
7¢−tan¡2π 7¢=i(T −S) =p7.
Problème 2 : simplifications de sommes et de produits
Les deux parties de ce problème sont indépendantes.
Partie I : Utilisation d’une somme double
Pour xréel et n∈N, on pose Pn(x)=
n
P
k=0(x+1)k.
Q1) a) Montrer que pour xnon nul, on a Pn(x)=(x+1)n+1−1
x.
b) En déduire que pour tout réel x, Pn(x)=
n
P
p=0¡n+1
p+1¢xp.
Q2) a) Montrer que Pn(x)=
n
P
k=0µk
P
p=0¡k
p¢xp¶.
b) En déduire que Pn(x)=
n
P
p=0xpÃn
P
k=p¡k
p¢!(on attend une justification).
Q3) En admettant que deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients, déduire de ce qui précède
une simplification de n
P
k=p¡k
p¢lorsque p∈0;n.
2

Partie II : Calcul d’une somme
On fixe un entier N> 1. Le but de cette partie est de calculer SN=P
z∈EN
1
1−z
où EN=UN\{1} (ensemble
des racines Nes de l’unité privé de 1), par trois méthodes différentes.
Q4) Méthode 1 : par calcul direct.
a) Étudier la fonction cotangente définie par :
cotan: x7→cotan(x)=cos(x)
sin(x).
(En particulier vous étudierez son ensemble de définition, sa parité, sa périodicité, dresserez son
tableau de variation sur un domaine pertinent, et tracerez l’allure de son graphe.)
b) Démontrer que pour θ6≡0 (mod 2π), on a 1
1−eiθ=1
2+i 2cotan(θ 2).
c) À l’aide du changement d’indice p=N−k, montrer que N−1
P
k=1cotan(kπ
N)=0.
d) En déduire une simplification de SN.
Q5) Méthode 2 : par dérivation d’un polynôme.
On pose pour x∈R, P(x)=1+x+x2+···xN−1=
N−1
P
k=0xk.
a) Montrer que pour x∈R+, P(x)6=0.
b) Calculer P(1) et P0(1).
c) Déterminer les racines complexes de P (i.e. les solutions de P(z)=0).
On admet à présent que ∀z∈C, P(z)=
N−1
Q
k=1³z−e2ikπ
N´.
d) Soient n∈N∗ , ϕ1,...,ϕn des fonctions dérivables sur R+ et qui ne s’annulent pas. On pose
fn=
n
Q
k=1ϕk. Montrer que fnest dérivable sur R+, que fnne s’annule pas, et que :
f0
n
fn=
n
X
k=1
ϕ0
k
ϕk
On commencera par établir cette formule pour n =1puis n =2.
e) En admettant que la formule précédente reste valable lorsque les fonctions ϕk sont à valeurs
complexes (la variable x étant réelle), déterminer une expression simple pour x∈R+ de
P0(x)
P(x)
.
f) Retrouver ainsi la simplification de SN.
Q6) Méthode 3 : par une équation complexe.
On pose Q(z)=(z−1)N−zN.
a) Quel est le degré de Q(z)? Quel est le coefficient de zN−1?
b) Démontrer que les solutions complexes de l’équation Q ( z ) = 0 sont exactement les termes de
la somme SN.
c) En admettant que dans un polynôme de degré p la somme des racines est l’opposé du
coefficient de zp−1divisé par le coefficient de zp, retrouver la simplification de SN.
d) Prolongements de la méthode 3.
3

i) En admettant que dans un polynôme de degré p le produit des racines est le coefficient
de z0multiplié par (−1)pet divisé par le coefficient de zp, montrer que :
Y
z∈EN
(1−z)=N
ii) En déduire que : N−1
Q
k=1sin(kπ
N)=N
2N−1.
iii) Dans le cas où N est impair, N= 2 n+ 1, montrer que les racines de Q sont 2 à 2 conjuguées.
En déduire que : n
Y
k=1µ1+cotan2(kπ
2n+1)¶=4n 2n+1
puis que :
n
Y
k=1
sin( kπ
2n+1)=p2n+1 2n
–FIN –
4