DS n°2

Année Scolaire 2016 – 2017
MATHÉMATIQUES MPSI3
DS N˚2
Samedi 08/10/2016 (4h)
Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir
par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention
particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les
résultats doivent être encadrés .
La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Problème 1 : géométrie et trigonométrie
Les deux parties de ce problème sont indépendantes.
Partie I : géométrie
−
−
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, →
u ,→
v ), on considère un rectangle ABCD tel que
p
−−→ −−→
π
AB = 2, AD = 1 et (AB , AD ) ≡ 2 (mod 2π). I désigne le milieu de [AB]. On notera a, b, c et d les affixes
respectives des points A, B, C et D. On note S une similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le
point M0 d’affixe z 0 telle que z 0 = αz + β , où α et β sont des nombres complexes avec α non nul.
¢
¡
Q1) a) Soient z et z 0 deux complexes, montrer que |z|2 − |z 0 |2 = Re (z + z 0 )(z − z 0 ) .
→ et −
→0 deux vecteurs d’affixes respectives z et z 0 , montrer que :
b) Soient −
w
w
−
→⊥−
→0 ⇐⇒ Re(z × z 0 ) = 0
w
w
Q2) Soit (E) l’ensemble des points M du plan tels que MD2 − MB2 = 1.
a) Vérifier que les points C et I appartiennent à (E).
b) Soit M d’affixe z, montrer que M appartient à (E) si et seulement si :
¡
¢
¡
¢
Re (d + b − 2z)(d − b) = Re (d + b − 2c)(d − b)
−−→ −−→
c) En déduire que M(z) ∈ (E) ⇐⇒ CM ⊥ DB .
d) Que dire alors des droites (BD) et (CI) ?
Q3) Déterminer les nombres complexes α et β pour que S(D) = C et S(C) = B.
1
Q4) Déterminer l’angle et le rapport de la similitude S. En déduire l’expression de α.
Q5) Soit Ω le centre de la similitude S. Montrer que Ω est sur le cercle de diamètre [CD].
Q6) Montrer que Ω est sur la droite (BD). Faire une figure.
Q7)
a) Exprimer c et d en fonction de a et b. Quelle est l’affixe de I en fonction de a et b ?
b) Exprimer le coefficient β en fonction de a et b, en déduire que S(B) = I.
c) Donner alors une autre justification de la propriété des droites (BD) et (CI) établie en Q2d.
Partie II : une formule trigonométrique
Soit u = exp( 2i7π ). On pose S = u + u 2 + u 4 et T = u 3 + u 5 + u 6 .
Q8) Justifier les égalités : u 7 = 1 et u = u1 .
Q9) En déduire sans calculs que S et T sont conjugués.
Q10) Sans calcul numérique, montrer que la partie imaginaire de S est positive.
Q11) Simplifier S + T et S × T.
Q12) En déduire la valeur de S et celle de T.
Q13)
a) À l’aide des formules d’Euler, montrer que : i tan
¡ 4π ¢
2
¡ 2π ¢
7
2
−1
= uu 2 +1
=−
6
P
(−u 2 )k ;
k=1
5
b) Vérifier que 4i sin 7 = 2(u − u ).
p
¡ ¢
¡ ¢
Q14) En déduire que 4 sin 4π
− tan 2π
= i (T − S) = 7.
7
7
Problème 2 : simplifications de sommes et de produits
Les deux parties de ce problème sont indépendantes.
Partie I : Utilisation d’une somme double
n
P
Pour x réel et n ∈ N, on pose Pn (x) =
Q1)
k=0
(x + 1)k .
n+1
a) Montrer que pour x non nul, on a Pn (x) = (x+1)x −1 .
n ¡
P
n+1¢ p
b) En déduire que pour tout réel x, Pn (x) =
p+1 x .
p=0
Q2)
a) Montrer que Pn (x) =
n
P
µ
¶
k ¡ ¢
P
k p
x .
p
k=0 p=0
b) En déduire que Pn (x) =
n
P
p=0
Ã
x
p
n ¡ ¢
P
k
k=p
p
!
(on attend une justification).
Q3) En admettant que deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients, déduire de ce qui précède
n ¡ ¢
P
k
une simplification de
lorsque p ∈ ‚0 ; nƒ.
p
k=p
2
Partie II : Calcul d’une somme
On fixe un entier N > 1. Le but de cette partie est de calculer S N =
P
z∈EN
1
1−z
où EN = UN \ {1} (ensemble
des racines Nes de l’unité privé de 1), par trois méthodes différentes.
Q4) Méthode 1 : par calcul direct.
a) Étudier la fonction cotangente définie par :
cotan : x 7→ cotan(x) = cos(x)
.
sin(x)
(En particulier vous étudierez son ensemble de définition, sa parité, sa périodicité, dresserez son
tableau de variation sur un domaine pertinent, et tracerez l’allure de son graphe.)
b) Démontrer que pour θ 6≡ 0 (mod 2π), on a
1
1−e i θ
= 12 + 2i cotan( θ2 ).
c) À l’aide du changement d’indice p = N − k, montrer que
N−1
P
k=1
cotan( kπ
N ) = 0.
d) En déduire une simplification de S N .
Q5) Méthode 2 : par dérivation d’un polynôme.
On pose pour x ∈ R, P(x) = 1 + x + x 2 + · · · x N−1 =
N−1
P
xk .
k=0
a) Montrer que pour x ∈ R+ , P(x) 6= 0.
b) Calculer P(1) et P 0 (1).
c) Déterminer les racines complexes de P (i.e. les solutions de P(z) = 0).
´
N−1
Q ³
2i kπ
z −e N .
On admet à présent que ∀z ∈ C, P(z) =
k=1
d) Soient n ∈ N , ϕ1 , . . . , ϕn des fonctions dérivables sur R+ et qui ne s’annulent pas. On pose
n
Q
fn =
ϕk . Montrer que f n est dérivable sur R+ , que f n ne s’annule pas, et que :
∗
k=1
f n0
fn
=
n ϕ0
X
k
k=1 ϕk
On commencera par établir cette formule pour n = 1 puis n = 2.
e) En admettant que la formule précédente reste valable lorsque les fonctions ϕk sont à valeurs
complexes (la variable x étant réelle), déterminer une expression simple pour x ∈ R+ de
P 0 (x)
.
P(x)
f) Retrouver ainsi la simplification de S N .
Q6) Méthode 3 : par une équation complexe.
On pose Q(z) = (z − 1)N − z N .
a) Quel est le degré de Q(z) ? Quel est le coefficient de z N−1 ?
b) Démontrer que les solutions complexes de l’équation Q(z) = 0 sont exactement les termes de
la somme S N .
c) En admettant que dans un polynôme de degré p la somme des racines est l’opposé du
coefficient de z p−1 divisé par le coefficient de z p , retrouver la simplification de S N .
d) Prolongements de la méthode 3.
3
i) En admettant que dans un polynôme de degré p le produit des racines est le coefficient
de z 0 multiplié par (−1)p et divisé par le coefficient de z p , montrer que :
Y
(1 − z) = N
z∈EN
ii) En déduire que :
N−1
Q
k=1
N
) = 2N−1
sin( kπ
.
N
iii) Dans le cas où N est impair, N = 2n +1, montrer que les racines de Q sont 2 à 2 conjuguées.
En déduire que :
µ
¶
kπ
4n
2
1 + cotan (
) =
2n + 1
2n + 1
k=1
n
Y
puis que :
n
Y
kπ
sin(
)=
2n + 1
k=1
– FIN –
4
p
2n + 1
2n