Devoir d`Analyse - Université de Caen

Université de Caen Basse Normandie
UFR Sciences IUFM
20112012
M2 Mathématiques et Enseignement
UE 302
D. SIMON
Devoir d'Analyse
Exercice 1 (Nombres de Bernoulli)
L'objectif de ce problème est d'étudier les nombres de Bernoulli. Ces nombres interviennent
dans le développement en série entière de nombreuses fonctions trigonométriques, comme la
fonction tan. On regarde aussi une application aux séries de Fourier.
Notation : on utilise les fonctions trigonométriques habituelles sin, cos, tan, cotan ainsi que
leurs analogues hyperboliques sinh, cosh, tanh, cotanh.
et − 1
On dénit sur C la fonction f par f (0) = 1 et f (t) =
pour t 6= 0.
t
1. (a) Montrer que f est continue sur C et admet un développement en série entière au
voisinage de 0. Montrer que f est égale à son développement en série entière sur
C.
(b) Montrer que f (t) = 0 si et seulement si t ∈ 2iπZ∗ .
On dénit les nombres de Bernoulli par B0 = 1 et la relation de récurrence :
k−1 1 X k+1
Bj ,
Bk = −
k + 1 j=0
j
∀k > 1
On admet que le rayon de convergence RE de la série entière E(t) =
+∞
X
Bk
k=0
k!
tk n'est pas nul.
2. Déterminer la valeur de Bk pour 0 6 k 6 6.
3. (a) Montrer que pour tout k > 1, on a
k X
k+1
j
j=0
Bj = 0.
(b) En déduire que sur le disque ouvert D(0, RE ), on a f (t)E(t) = 1, c'estàdire
E(t) =
et
t
−1
(c) Montrer que RE 6 2π .
On dénit aussi les polynômes de Bernoulli par
Bk (x) =
k X
k
j=0
et la série entière E(t, x) =
+∞
X
Bk (x)
k=0
k!
j
Bj xk−j
tk . On a en particulier Bk (0) = Bk et E(t, 0) = E(t).
4. Déterminer l'expression de Bk (x) pour 0 6 k 6 6.
5. Montrer que Bk (x) est un polynôme unitaire de degré k à coecients rationnels.
6. En utilisant la formule du produit de deux séries entières, montrer que etx E(t) = E(t, x)
pour t ∈ D(0, RE ) et, pour t 6= 0
E(t, x) =
tetx
et − 1
7. Montrer que pour tout k > 1, on a Bk0 (x) = kBk−1 (x).
8. (a) Pour t ∈ D(0, RE ), montrer la relation E(t, x + 1) = E(t, x) + tetx .
(b) Montrer que pour tout k > 1, on a Bk (x + 1) = Bk (x) + kxk−1 .
(c) En déduire que pour tout k > 0, on a Bk (1) = Bk + δk,0 et
N
X
nk =
n=0
1
Bk+1 (N )
Bk+1
(Bk+1 (N + 1) − Bk+1 ) =
−
+ N k.
k+1
k+1
k+1
(d) Exprimer les sommes
N
X
nk en fonction de N pour 0 6 k 6 5.
n=0
9. (a) Pour t ∈ D(0, RE ), montrer la relation E(−t, −x) = E(t, x) + tetx .
(b) Montrer que pour tout k > 1, on a (−1)k Bk (−x) = Bk (x) + kxk−1 .
(c) En déduire que les nombres de Bernoulli d'indice impair sont tous nuls, sauf B1 .
Pour k > 0, on dénit la fonction bk (t), périodique de période 2π par bk (t) = Bk
[0, 2π[.
t
2π
sur
10. (a) Étudier la continuité et la dérivabilité (à droite et à gauche) de bk .
(b) Calculer par récurrence sur k les coecients de Fourier complexes de bk (on pourra
utiliser une intégration par parties et la relation Bk (x)0 = kBk−1 (x)).
(c) Pour k > 2 et x ∈ [0, 1[, montrer que
(−1)k/2 (2π)k
+∞
X
Bk (x)
1
= −2
cos(2πnx)
k
k!
n
n=1
si k est pair, et
(−1)(k−1)/2 (2π)k
+∞
X
Bk (x)
1
= −2
sin(2πnx)
k
k!
n
n=1
si k est impair.
(d) En déduire, pour k > 1, la relation
+∞
X
1
(−1)k−1
B2k
=
(2π)2k
.
2k
n
2
(2k)!
n=1
+∞
X
1
Donner la valeur des sommes
pour k = 1, 2, 3.
n2k
n=1
|B2k |
π2
6 (2π)−2k .
(2k)!
3
(b) En déduire que la série entière E(t) converge pour |t| < 2π et que RE = 2π .
11. (a) Montrer que pour k > 1, on a
t
t
t
12. (a) Montrer que pour t ∈ D(0, 2π) on a E(t) + = cotanh
.
2
2
2
+∞
X
B2k 2k
(b) En déduire que pour tout t ∈ D(0, π) on a t cotanh t =
t .
22k
(2k)!
k=0
13. (a) Montrer que cotan(t) = i cotanh(it) pour tout t ∈ C \ πZ.
(b) En déduire que pour tout t ∈ D(0, π), on a t cotan t =
+∞
X
(−1)k 22k
k=0
B2k 2k
t .
(2k)!
14. (a) Montrer que tan(t) = cotan(t) − 2 cotan(2t) pour tout t ∈ C \ π2 Z.
(b) En déduire que pour tout t ∈ D(0,
π
),
2
on a tan t =
+∞
X
k=1
et tanh t =
+∞
X
k=1
22k (22k − 1)
B2k 2k−1
t
.
(2k)!
(−1)k−1 22k (22k −1)
B2k 2k−1
t
(2k)!