CONTROLE N°8 1S1.

CONTROLE N°8
1S1.
Le mercredi 13 mai 2015.
PARTIE 1. TRIGONOMETRIE ET ANGLES ORIENTES.
1 heure : calculatrices interdites.
I.
Compléter le tableau ci-dessous :
0
mesure de l’angle en radians
π
6
π
3
π
4
π
2
cosinus
sinus
II. Compléter :
cos(π+x) = ................................
π 
cos 2 +x  = ................................


sin(π−x) = ................................
π 
sin 2 −x  = ................................


cos(-x) = ................................
cos(a+b) = ..............................................
sin(-x) = ................................
sin(a−b) = ..............................................
III. Sur le cercle trigonométrique ci-contre, le point M est associé au réel x.
Placer les points :
M1 associé au réel x.
M2 associé au réel
x.
M3 associé au réel
x.
IV.
A
Calculer, en justifiant :
cos  sin 8  sin 6  cos 
 7 
 7 
 7
7
V.
Déterminer deux mesures de l angle
VI.
On note (E) l équation cos(x)
1.
2.
3.
tel que : cos( )
2
et sin( )
2
2
2
1.
2
Résoudre (E) dans .
Résoudre (E) dans ]
].
Résoudre (E) dans [0 2 [.
VII. Sur la figure ci-contre, le triangle ABC est rectangle et isocèle et le triangle ADB
est équilatéral.
1.
Donner sans justifier une mesure des angles ( AB AC ) et ( AB AD ).
2.
Déterminer une mesure de l angle ( BA
AC ).
3.
Déterminer une mesure de l angle ( AB
CB ).
4.
Déterminer une mesure de l angle ( AC
DB ).
CONTROLE N°8
1S1.
Le mercredi 13 mai 2015.
PARTIE 2. PROBABILITES.
1 heure : calculatrices autorisées.
I.
On considère un jeu de 32 cartes. On tire successivement et avec remise 24 cartes de ce jeu.
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de cœurs obtenus.
1.
Quelle loi suit X ? Justifier.
2.
Déterminer la probabilité d obtenir exactement 4 cœurs parmi les 24 cartes tirées. Détailler le
calcul.
3.
Déterminer la probabilité d obtenir au plus 12 cœurs parmi les 24 cartes tirées.
4.
Déterminer la probabilité d obtenir au moins 7 cœurs parmi les 24 cartes tirées.
5.
Déterminer la probabilité d obtenir entre 6 et 18 cœurs parmi les 24 cartes tirées.
6.
Calculer l espérance de X et interpréter ce résultat.
7.
Calculer l écart-type de X.
II. Dans une population de bovins, 1% des individus sont atteints d une maladie. Cette maladie ne peut
être soignée que si elle est diagnostiquée suffisamment tôt à l aide d un test.
On sait que :
– si un individu est malade, le test est positif dans 85% des cas
– si un individu est sain, le test est négatif dans 95% des cas
1.
Représenter la situation par un arbre pondéré.
2.
Un négociant achète un grand nombre de lots de 15 bovins au hasard. Etant donné la taille de la
population, on peut considérer les choix des animaux comme indépendants. Combien d animaux avec
un test positif risque-t-il d avoir par lot en moyenne ?
III. Un concours consiste à passer 3 épreuves indépendantes :
Épreuve 1 : on a 80% de chances de réussir au vu des dernières années ;
Épreuve 2 : on a 60% de chances ;
Épreuve 3 : on a 25% de chances ;
On est reçu au concours si on réussit au moins deux épreuves sur trois (n'importe lesquelles). Quelle est la
probabilité de réussir le concours ?
IV. Un élève se rend à vélo à son lycée distant de 3 km ; il roule à une vitesse supposée constante de
15km.h 1. Sur le parcours, il rencontre 5 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité
qu’il soit au vert est 0,7 et celle qu’il soit au rouge est de 0,3. Un feu vert ne ralentit pas le cycliste, un feu
rouge lui fait perdre une minute.
S’il part 13 minutes avant la sonnerie de début des cours, quelle est la probabilité qu’il arrive en retard ?
CORRECTION DU CONTROLE N°8.
1S1.
PARTIE 1. TRIGONOMETRIE ET ANGLES ORIENTES.
IV.
A
cos  sin 8  sin 6  cos 
 7 
 7 
 7
7
cos  sin  sin  cos  0
7
7
7
7
V.
VI.
cos  sin
7

sin 
4
3 + 2k où k est un réel. 3 et 3
2
4
4
4
 cos 
7
7
cos  et sin( )
4
cos( )
1
2
(E) : cos(x)
1.
 sin

7


 3
S
cos(x)
2k
3


 3
2k
kϵ
3.
S
1.
( AB
AC )
2.
( BA
AC )
( AB
AC )
3.
( AB
CB )
( BA
BC )
4.
( AC
DB )
( AC
AB )
[0 2 [


 3
3
5
3






S
]
sont deux mesures de .
cos 
3
2.
]
11
4



VII.
2
et ( AB
AD )
3
.
2
4
( AB
3
.
2
.
DB )
2
( BA
BD )
2
3
6
.
PARTIE 2. PROBABILITES.
I.
1.
On répète 24 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir une carte et
à noter si c est un cœur. La probabilité que la carte choisie soit un cœur est 1/4.
La variable aléatoire X correspondant au nombre de cœurs obtenus suit la loi binomiale de
paramètres 24 et 1/4.
4
24 4
 24 
2.
P(X 4)   1  1 1 
0,132.
 4  4   4 
La probabilité d obtenir exactement 4 cœurs parmi les 24 cartes tirées est environ 0,132.
3.
P(X 12) 0,998.
La probabilité d obtenir au plus 12 cœurs parmi les 24 cartes tirées est environ 0,998.
4.
P(X 7) 1 P(X 6) 1 0,607 0,393.
La probabilité d obtenir au moins 7 cœurs parmi les 24 cartes tirées est environ 0,393.
5.
P(6 X 18)=P(X 18)-P(X 5) 0,578.
La probabilité d obtenir entre 6 et 18 cœurs parmi les 24 cartes tirées est environ 0,578.
6.
L espérance de X est E(X) 24 1 6. Si on effectue un grand nombre de séries de 24
4
tirages avec remise, on obtiendra en moyenne 6 cœurs par série.
7.
(X)
24 1 1 1  = 3 2 2,121. L écart type de X est environ 2,121.
4 
4
2
II.
1.
Représenter la situation par un arbre pondéré.
2.
Lorsqu on choisit un bovin au hasard, la probabilité qu il ait un test positif est :
0,01 0,85+0,99 0,05=0,058
On répète 15 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir un bovin et à
noter si le test est positif. La probabilité qu il le soit est 0,058.
La variable aléatoire X qui correspond au nombre de bovins ayant un test positif suit la loi binomiale
de paramètres 15 et 0,058.
On a alors E(X) 15 0,058 0,87. Sur un grand nombre de lots, le négociant peut craindre
d avoir en moyenne 0,87 animaux à traiter par lot de 15.
III. Un concours consiste à passer 3 épreuves indépendantes :
Épreuve 1 : on a 80% de chances de réussir au vu des dernières années ;
Épreuve 2 : on a 60% de chances ;
Épreuve 3 : on a 25% de chances ;
On est reçu au concours si on réussit au moins deux épreuves sur trois (n'importe lesquelles). Quelle est la
probabilité de réussir le concours ?
Ici, on ne peut pas utiliser de loi binomiale car, si on effectue bien 3 épreuves de Bernoulli indépendantes, la
probabilité du succès varie suivant les épreuves. On construit un arbre de probabilités :
Epreuve 1
Epreuve 2
Epreuve 3
0,6
Réussie
0,8
0,25
Réussie
Concours réussi
0,75
0,25
Ratée
Réussie
Concours réussi
Concours réussi
0,75
0,25
Ratée
Réussie
Concours raté
Concours réussi
0,75
0,25
Ratée
Réussie
Concours raté
Concours raté
0,75
Ratée
Concours raté
Réussie
0,4
Ratée
0,2
0,6
Réussie
Ratée
0,4
Ratée
La probabilité de réussir le concours est :
0,8 0,6 0,25+0,8 0,6 0,75+0,8 0,4 0,25+0,2 0,6 0,25=0,59.
IV.
3 60 12 : il faut à l élève 12 minutes pour faire le trajet si tous les feux sont verts.
15
Il arrive en retard s il a 2 feux rouges ou plus.
On répète 5 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à arriver à un feu et à noter s il
est rouge. La probabilité qu il soit rouge est 0,3.
La variable aléatoire X qui correspond au nombre de feux rouges suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,3.
P(X 2)=1-P(X 1) 0,47.
S’il part 13 minutes avant la sonnerie de début des cours, la probabilité qu’il arrive en retard est
environ 0,47.