Le 18-03-16 Devoir 8 Corrigé

Mathématiques classe de T
ale
ES
-
L
–
Devoir
du
18.03.
16
Eléments de correction
Exercice 1. (15 min)
a) Il y a quatre 10 dans le jeu de 32 cartes. On en déduit que la probabilité de gagner à ce jeu est égale à 
, soit  .
b) A chaque partie, la probabilité de perdre est égale à 1 − 
, soit  . La variable aléatoire qui compte le nombre
de succès en  parties suit la loi ℬ;
. Donc, la probabilité de perdre  fois sur  parties est égale à  .
La probabilité de gagner à ce jeu au moins 1 fois en  parties (≥1) est donc =1−
.
c) Pour tout  de ℕ,  −=
−  = 1− = × .
Il est clair que pour tout  de ℕ,  −>0. On en déduit que la suite (), est croissante.
0<
<1 donc lim =0. Et donc par produit et somme, lim=1.
d) Variable : N entier
Début
Affecter la valeur 1 à N
Tant que 1−
≤0,95
Affecter la valeur (+1) à N
Fin Tant que
Afficher N
Fin
e) A l’aide de la calculatrice, on trouve =23.
Exercice 2. (10 min)
Pour que la fonction  soit une fonction densité sur l’intervalle [0 ; 1], il faut que  vérifie les trois points suivants :
 est continue sur [0 ; 1],  est positive sur [0 ; 1] et ()
=1.
 La fonction  est continue sur [0 ; 1] en tant que fonction polynôme.
 Le discriminant du trinôme −+ 1 est strictement négatif et le coefficient en  est positif donc le trinôme
est positif. Or ()=(− + 1), donc  est positive sur [0 ; 1].
 ()
=
− +
=×
 . Donc ()
=1 si et seulement si ×
 =1, c’est-à-dire si et
seulement si =
 ou =− .
Donc  est une fonction densité sur [0 ; 1] lorsque =
 ou =− .
Exercice 3. (15 min)
a) Pour connaître les solutions de l’inéquation, on étudie le signe du trinôme − 6 + 5.
Le discriminant vaut 16 et les racines sont 1 et 5. Le coefficient en  étant positif, on en déduit que le trinôme
est strictement négatif entre les racines 1 et 5 (exclues).
 suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 10] donc (1<<5)= 
 = .
On en déduit que la probabilité que le nombre  soit solution de l’inéquation est 
.
b) De même, pour connaître les solutions de l’inéquation, on étudie le signe du trinôme − 7 + 6.
Le discriminant vaut 25 et les racines sont 1 et 6. Le coefficient en  étant positif, on en déduit que le trinôme
est strictement positif entre 0 et 1 et entre 6 et 10 (exclus).
 suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 10] donc (0<≤1)= 
 =  et (6<≤10)=   = .
On en déduit que la probabilité que le nombre  soit solution de l’inéquation est 
+  soit  ., car les
événements {0≤ ≤1} et {6≤ ≤10} sont disjoints/
Exercice 4. (5 min)
a) ()=()
b) Si X suit la loi uniforme sur [ ;], alors la fonction densité sur [ ;] est la fonction constante égale à 
.
()= × 1
−
= 1
− 
= 1
−× 2
=1
−×− 2=1 −×(−)(+) 2=+ 2