Le 18-03-16 Devoir 8 Corrigé

Mathématiques classe de Tale ES-L – Devoir du 18.03.16 Eléments de correction
Exercice 1.
(15 min)
a) Il y a quatre 10 dans le jeu de 32 cartes. On en déduit que la probabilité de gagner à ce jeu est égale à
, soit .
b) A chaque partie, la probabilité de perdre est égale à 1 − , soit . La variable aléatoire qui compte le nombre
de succès en
parties suit la loi ℬ
;
. Donc, la probabilité de perdre
La probabilité de gagner à ce jeu au moins 1 fois en
fois sur
parties ( ≥ 1) est donc
c) Pour tout de ℕ,
−
=
−
=
1− =
× .
Il est clair que pour tout de ℕ,
−
> 0. On en déduit que la suite (
0 < < 1 donc lim
= 0. Et donc par produit et somme, lim = 1.
d) Variable : N entier
Début
Affecter la valeur 1 à N
Tant que 1 −
≤ 0,95
Affecter la valeur ( + 1) à N
Fin Tant que
Afficher N
Fin
e) A l’aide de la calculatrice, on trouve
est continue sur [0 ; 1],
( )
=
seulement si
Donc
−
est positive sur [0 ; 1] et
=
ou
+
=−
=
.
( )
= 1.
( )
× . Donc
est une fonction densité sur [0 ; 1] lorsque
Exercice 3.
.
), est croissante.
vérifie les trois points suivants :
 La fonction est continue sur [0 ; 1] en tant que fonction polynôme.
 Le discriminant du trinôme − + 1 est strictement négatif et le coefficient en
est positif. Or ( ) = ( − + 1), donc est positive sur [0 ; 1].

=1−
.
= 23.
(10 min)
Pour que la fonction soit une fonction densité sur l’intervalle [0 ; 1], il faut que
Exercice 2.
parties est égale à
=
est positif donc le trinôme
= 1 si et seulement si
ou
=−
× =1, c’est-à-dire si et
.
(15 min)
a) Pour connaître les solutions de l’inéquation, on étudie le signe du trinôme − 6 + 5.
Le discriminant vaut 16 et les racines sont 1 et 5. Le coefficient en étant positif, on en déduit que le trinôme
est strictement négatif entre les racines 1 et 5 (exclues).
suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 10] donc (1 < < 5) =
= .
On en déduit que la probabilité que le nombre soit solution de l’inéquation est .
b) De même, pour connaître les solutions de l’inéquation, on étudie le signe du trinôme − 7 + 6.
Le discriminant vaut 25 et les racines sont 1 et 6. Le coefficient en étant positif, on en déduit que le trinôme
est strictement positif entre 0 et 1 et entre 6 et 10 (exclus).
suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 10] donc (0 < ≤ 1) =
= et (6 < ≤ 10) =
= .
On en déduit que la probabilité que le nombre soit solution de l’inéquation est
événements {0 ≤ ≤ 1} et {6 ≤ ≤ 10} sont disjoints/
+
soit ., car les
(5 min)
( )=
( )
Exercice 4.
a)
b) Si X suit la loi uniforme sur [ ; ], alors la fonction densité sur [ ; ] est la fonction constante égale à
( )=
×
1
−
=
1
−
=
1
−
×
2
=
1
−
×
−
2
=
1
−
×
( − )( + )
=
2
+
2
.