Correction DS n°4
Correction DS n°4 – Mathématiques – 1°S3
Exercice n°1
1) est dérivable sur ];
[ et sur ]
; +[ comme quotient de deux fonctions dérivables
On en déduit que 1
2,=2212(2+1)
(21)² 1
2 , () =
()²
2) a) :=+() avec =4
(21)² et =2+1
21.
D’où : :=4
212+2+1
21
:=4
212+4
212+2+ 1
21
:=4
212+4
212+2+ 1(21)
(21)²
:=4
212+4
212+4²1
(21)²
:=
()² +² +
()²
b) On cherche tel que 1
2; 0() :
1
4; 0 4
212×1
4+42+ 41
212= 0 1
212+42+ 41
212= 0
42+ 4
212= 0 4² + 4= 0 1
24+ 1= 0 = 0 =1
Il existe deux valeurs de pour lesquelles () passe par
;:= =
Il y a donc deux points de coordonnées : ; et ;
avec 0=1 et 1=1
3
c) Si la tangente () est parallèle à la droite =+ 7 alors elles ont le même coefficient directeur. Donc, on
cherche tel que =1. D’où, on résout 4
212=1.
Ce qui équivaut à résoudre 21² = 4 4²43=0=1
2 =3
2 avec =64 > 0 donc deux
solutions réelles distinctes.
Il existe donc deux points tel que la tangente () à soit parallèle à(), ce sont les points de coordonnées
(
;) et (
;) avec 1
2= 0 et 3
2= 2.
Exercice n°2
1) Arbre pondéré :
0
1
2
3
(=)
1
8
3
8
3
8
1
8
,,,,,,,.
= {0; 1; 2; 3}
Il y a donc au total 8 issues possibles :
2) a) : Nombre de réponses exactes.
Loi de probabilité de :
=22
= 0² × 1
8+ 1² × 3
8+ 2² × 3
8+ 3² × 1
83
22
=3
8+12
8+9
89
4=24
818
8=6
8=
b) =3
8+6
8+3
8=12
8=
Donc, =
3) a) = 3 × Nombres de réponses exactes +(1) × Nombres de réponses inexactes
= 31(3 ) = 33 + d’où : =.
b) Démonstration de cours : Voir le cours.
c) =43= 43 = 4 × 3
23 = 6 3 = .
On en déduit que sur un très grand nombre de QCM, Mathieu obtiendrait en moyenne points sur par
QCM.
Exercice n°3
1) = 1.
a) = {1; 4; 9} Loi de probabilité :
b) Le jeu est favorable au joueur > 0
+4 +12
+4 +9
+4 > 0 +21
+4 > 0 +21 > 0 + 4 > 0 <21.
Il faut donc moins de jetons noirs pour que le jeu soit favorable au joueur.
2) =16.
a) =; 5 ;10 Loi de probabilité :
b) Le jeu est équitable = 0
16
20 +3(5 )
20 +10
20 = 0
16+15 3+10
20 = 0
20+25
20 = 0
20+25 = 0 =25
20 = 1,25.
Il faut donc miser , pour que le jeu soit équitable.
1
4
9
+ 4
3
+ 4
1
+ 4
5
10
16
20
3
20
1
20
1
/
2
100%
