Exercice 4 : sur 5 points+1 Exercice 5 : sur 4.5 points+1
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NOM
1° S
10/10/12
Devoir n° 2
( 1heure)
Exercice 1 : sur 2.5 points
Q.C.M. : Attention : ne pas répondre au hasard, car toute réponse fausse enlève des points.
1. (–2x –5)² est égal à :
4x² – 20x + 25
4x² + 25
4x² + 20x + 25
2. Le trinôme a ( x c)2 a un discriminant nul :
Vrai
Faux
3. Le trinôme – x ² –16
ne se factorise pas
On ne peut pas savoir
est égal à –(x – 4)(x + 4)
est égal à (4 - x)(4 + x)
4. Si, pour tout réel x, a x² bx c est strictement positif, alors :
>0
<0
on ne peut pas connaître le signe de
5. La fonction f définie par f ( x) 3 x² 12 x 12 a pour extremum
le point de coordonnées (2 ; 0)
le nombre 0
aucune des deux réponses précédentes
Exercice 2 : sur 5 points
Soit x un réel positif ou nul donné et M un point variable d’abscisse x situé sur la courbe représentative de la fonction
racine carré, dans un repère orthonormal .
Soit A ( 2 ; 0 ) . Déterminer la valeur de x qui minimise la distance AM ²
Exercice 3 : sur 3 points
Démontrer que pour tout réel x non nul, on a :
1
1 1
3
x x² 4
Exercice 4 : sur 5 points+1
Résoudre :
a)
x ² 3x 10
0
2 x
b)
2 x² 3 x 2
0
2x 1
Exercice 5 : sur 4.5 points+1
3x 1
et g la fonction affine définie par : g( x) x 5 .
4x 5
On appelle (C) la courbe représentative de f et (D) celle de g dans un repère orthonormal
Soit f la fonction définie par : f ( x)
Etudier la position relative de (C) et de (D). On précisera les coordonnées de leurs points d’intersection.
CORRIGE DU DS 2
Exercice 1 :
1) (2 x 5)² (2 x 5)² 4 x² 20 x 25
2) a ( x c)² 0 x c 0 x c . Le trinôme a ( x c)² a donc une seule racine donc son discriminant est
nul .
3) x² 16 a pour discriminant 64 . 0 donc le polynôme ne se factorise pas.
4) Si, pour tout réel x, ax² bx c est strictement positif, c’est que ce polynôme garde un toujours le même signe et
ne s’annule pas, c’est donc que < 0 .
b 12
2 et f (2) 0 donc l’extremum de f est le nombre 0 (atteint en 2)
5)
2a
6
Attention ! Un extremum pour une fonction est un nombre ; pas un point !
Exercice 2 :
On a M ( x ;
x ) et A ( 2 ; 0 )
M
donc AM ² = ( x 2)2 ( x 0)² x² 4 x 4 x x² 3 x 4 .
Notons f la fonction définie sur [ 0 ; + [ par f ( x) x² 3 x 4 .
f est une fonction polynôme du second degré avec a = 1 > 0 donc elle admet un
b
3
minimum atteint en
donc en .
2
2a
Par suite, la valeur de x qui minimise la distance AM ² est
1
0
1
A
3
2
Exercice 3 :
Pour tout x 0 , 1
1 1 3 4 x² 4 x 4 3 x² x² 4 x 4 ( x 2)2
x x² 4
4 x²
4 x²
4 x²
Pour tout x ≠0
( x 2)2
1 1 3
1 1
3
0 donc 1
0 donc 1
4 x²
x x² 4
x x² 4
remarque : on peut aussi faire un tableau de signes
Exercice 4 :
( x 2)2 0 et 4 x² 0 donc le quotient
a)
x ² 3x 10
0
2 x
D = \ {2}
Le trinôme x² 3x 10 a pour discriminant = 49 et deux racines x1 =
3 7
37
5 et x2
2 . Il est du signe
2
2
de « a » donc positif à l’extérieur des racines.
2 – x est « affine » , l’expression s’annule en 2 et est d’abord positive.
D’où le tableau de signes :
x
–
-2
signe de x² 3x 10
+
signe de 2 – x
+
signe du quotient
+
b)
2 x² 3 x 2
0
2x 1
0
2
–
+
0
D = \ {–1/2}
–
0
5
+
– 0
+
–
–
+ 0
–
S ; 2 2;5
2 x² 3x 2 : = 9 + 16 = 25 donc deux racines x1
S 2
Exercice 5 :La fonction f est définie sur D =
3 5
1
3 5
et x2
2 . Or D = \ {–1/2}
4
2
4
\{5/4}
On étudie le signe de f(x) – g(x) pour tout x de D
3x 1
3x 1 ( x 5)(4 x 5) 3 x 1 (4 x² 20 x 5 x 25)
( x 5)
4x 5
4x 5
4x 5
4 x ² 28 x 24 4( x ² 7 x 6)
4x 5
4x 5
f ( x) g ( x)
Le trinôme –x²+7x–6 a pour discriminant = 49–24=25 qui est strictement positif
donc le trinôme a deux racines distinctes : x1
7 5
7 5
6 et x2
1
2
2
De plus , f(6)=g(6)= 1 et f(1)=g(1)=-4
x
signe de 4(-x²+7x-6)
signe de 4x-5
signe de f(x)-g(x)
–∞
–
–
+
1
0
||
6
5/4
+
–
–
0
0
+
+
+
On en déduit que
sur ]– ∞ ; 1[ et sur ]5/4 ;6[ la courbe (C) et au dessus de la droite (D)
Sur ]1 ;5/4[ et sur ]6 ; + ∞[ la courbe (C) et au dessous de la droite (D)
(C) et (D) ont deux points d’intersection de coordonnées respectives ( 1 ; –4) et ( 6 ; 1)
Contrôle graphique :
y
(C)
(D)
1
0
1
x
0 –
+
0 –
+∞
