Exercice 4 : sur 5 points+1 Exercice 5 : sur 4.5 points+1
NOM
1° S Devoir n° 2 ( 1heure)
10/10/12
Exercice 1 : sur 2.5 points
Q.C.M. : Attention : ne pas répondre au hasard, car toute réponse fausse enlève des points.
1. (–2x –5)² est égal à :
4x² – 20x + 25 4x² + 25 4x² + 20x + 25
2. Le trinôme
2
()a x c
a un discriminant nul :
Vrai Faux On ne peut pas savoir
3. Le trinôme – x ² –16
ne se factorise pas est égal à –(x – 4)(x + 4) est égal à (4 - x)(4 + x)
4. Si, pour tout réel x,
²a x bx c
est strictement positif, alors :
> 0
< 0 on ne peut pas connaître le signe de
5. La fonction f définie par
3 12 12( ) ²f x x x
a pour extremum
le point de coordonnées (2 ; 0)
le nombre 0
aucune des deux réponses précédentes
Exercice 2 : sur 5 points
Soit x un réel positif ou nul donné et M un point variable d’abscisse x situé sur la courbe représentative de la fonction
racine carré, dans un repère orthonormal .
Soit A ( 2 ; 0 ) . Déterminer la valeur de x qui minimise la distance AM ²
Exercice 3 : sur 3 points
Démontrer que pour tout réel x non nul, on a :
1 1 3
14²xx
Exercice 4 : sur 5 points+1
Résoudre : a)
² 3 10 0
2
xx
x
b)
2 3 2 0
21
²xx
x
Exercice 5 : sur 4.5 points+1
Soit f la fonction définie par :
31
45
() x
fx x
et g la fonction affine définie par :
5()g x x
.
On appelle (C) la courbe représentative de f et (D) celle de g dans un repère orthonormal
Etudier la position relative de (C) et de (D). On précisera les coordonnées de leurs points d’intersection.
CORRIGE DU DS 2
Exercice 1 :
1)
2 5 2 5 4 20 25( )² ( )² ²x x x x
2)
00( )²a x c x c x c
. Le trinôme
( )²a x c
a donc une seule racine donc son discriminant est
nul .
3)
16²x
a pour discriminant
64
.
0
donc le polynôme ne se factorise pas.
4) Si, pour tout réel x,
²ax bx c
est strictement positif, c’est que ce polynôme garde un toujours le même signe et
ne s’annule pas, c’est donc que
< 0 .
5)
12 2
26
b
a
et
20()f
donc l’extremum de f est le nombre 0 (atteint en 2)
Attention ! Un extremum pour une fonction est un nombre ; pas un point !
Exercice 2 :
On a M (
;xx
) et A ( 2 ; 0 )
donc AM ² =
2
2 0 4 4 3 4
²
( ) ( ) ² ²x x x x x x x
.
Notons f la fonction définie sur [ 0 ; +
[ par
34( ) ²f x x x
.
f est une fonction polynôme du second degré avec a = 1 > 0 donc elle admet un
minimum atteint en
2b
a
donc en
3
2
.
Par suite, la valeur de x qui minimise la distance AM ² est
3
2
Exercice 3 :
Pour tout
2
1 1 3 4 4 4 3 4 4 2
01 4 4 4 4
² ² ² ( )
,² ² ² ²
x x x x x x
xx x x x x
Pour tout x ≠0
2
22 1 1 3 1 1 3
2 0 4 0 0 1 0 1
4 4 4
doncle quotient ()
( ) ² ² ² ²
x
x et x donc donc
x x x x x
remarque : on peut aussi faire un tableau de signes
Exercice 4 :
a)
² 3 10 0
2
xx
x
D = \ {2}
Le trinôme
² 3 10xx
a pour discriminant = 49 et deux racines x1 =
37 5
2
et
237 2
2
x
. Il est du signe
de « a » donc positif à l’extérieur des racines.
2 – x est « affine » , l’expression s’annule en 2 et est d’abord positive.
D’où le tableau de signes :
; 2 2;5S
b)
2 3 2 0
21
²xx
x
D = \ {–1/2}
x
–
-2
2
5
+
signe de
² 3 10xx
+
0
–
–
0
+
signe de 2 – x
+
+
0
–
–
signe du quotient
+
0
–
+
0
–
0 1
1
A
M
2 ² 3 2xx
: = 9 + 16 = 25 donc deux racines
13 5 1
42
x
et
235 2
4
x
. Or D = \ {–1/2}
2S
Exercice 5 :La fonction f est définie sur D = \{5/4}
On étudie le signe de f(x) – g(x) pour tout x de D
3 1 3 1 ( 5)(4 5) 3 1 (4 ² 20 5 25)
( ) ( ) ( 5)
4 5 4 5 4 5
4 ² 28 24 4( ² 7 6)
4 5 4 5
x x x x x x x x
f x g x x
x x x
x x x x
xx
Le trinôme –x²+7x–6 a pour discriminant = 49–24=25 qui est strictement positif
donc le trinôme a deux racines distinctes :
12
7 5 7 5
6 et 1
22
xx
De plus , f(6)=g(6)= 1 et f(1)=g(1)=-4
On en déduit que
sur ]– ∞ ; 1[ et sur ]5/4 ;6[ la courbe (C) et au dessus de la droite (D)
Sur ]1 ;5/4[ et sur ]6 ; + ∞[ la courbe (C) et au dessous de la droite (D)
(C) et (D) ont deux points d’intersection de coordonnées respectives ( 1 ; –4) et ( 6 ; 1)
Contrôle graphique :
(D)
(C)
0 1
1
x
y
x
– ∞
1
5/4
6
+ ∞
signe de 4(-x²+7x-6)
–
0
+
+
0
–
signe de 4x-5
–
–
0
+
+
signe de f(x)-g(x)
+
||
–
0
+
0
–
1
/
3
100%
