fiche rappel signe expressions algébriques 11-12

Rappels : étudier le signe d'une expression 1ère S
1- Différentes méthodes
1-1- Expressions affines (polynômes de degré 1)
Théorème :
f
x
=
mx
p
définie sur ℝ. Le signe de f dépend du coefficient directeur m et de la valeur
de la variable. On a deux cas :
 Si m>0  Si m<0
x–∞–
p
m
+∞
f(x)=mx+p –0+
x–∞–
p
m
+∞
f(x)=mx+p + 0 –
Exemple d'application : déterminer les signes de
f
(
x
)=
3
x
4
et
g
(
x
)=
7
x
suivant les valeurs de x.
3
x
4
=
0
⇔ x=
4
3
et le coefficient directeur est 3 (positif). On a alors :
x–∞4/3 +∞
f(x) – 0 +
7
x
=
0
⇔ 
x
=
7
⇔
x
=
7
et le coefficient directeur est -1 (négatif). On a alors :
x–∞7 +∞
g(x) + 0 –
1-2- Polynômes du second degré (trinômes)
Théorème: le nombre de racines d'un trinôme du second degré
ax
2
+
bx
+
c
( solutions de l'équation
ax
2
+
bx
+
c
=
0
) dépend du signe de son discriminant
∆
=
b
2
4
ac
:
 si <0, alors le trinôme n'a pas de racine (et l'équation
ax
2
+
bx
+
c
=
0
n'a pas de solution)
 si =0, alors le trinôme a pour unique racine le nombre x
0
=
b
2
a
 si >0, alors le trinôme a deux racines : x
1
=b
√
∆
2
a
et x
2
=b+
√
∆
2
a
Théorème : le signe d'un trinôme du second degré
ax
2
+
bx
+
c
est le même que celui du coefficient « a »,
sauf entre les éventuelles racines.
Exemple d'application 1 : déterminer le tableau de signes de
3
x
2
+
6
x
24
.
 =
b
2
4
ac
=
6
2
4
×
3
×(
24
)=
324
>
0
Il y a donc deux racines à ce trinôme :
x
1
=6+
√
324
2
×
3
=2 et x
2
=6
√
324
2
×
3
=4
Le coefficient du terme3>0. On en déduit le tableau suivant :
x–∞–4 2 +∞
f(x) + 0 – 0 +
Exemple d'application 2 : déterminer le signe de
2
x
2
+
3
x
5
suivant les valeurs de x.
∆=
3
2
4
×(
2
)×(
5
)=
31
<
0
donc ce trinôme est toujours du signe du coefficient du terme de degré
2 (qui est -2), donc toujours négatif ! (quel que soit la valeur de x).
1-3- Astuce 1 : observer si la fonction n 'est pas de signe constant.
Exemple : étudier le signe de
f
(
x
)=
2
√
x
4
sur
D
f
= ℝ
+
Quel que soit la valeur de x appartenant à
D
f
, on a
√
x
⩾
0
donc
2
√
x
⩽
0
et
2
√
x
4
⩽
4
<
0
On en déduit que pour tout x de ℝ
+
,
f
(
x
)<
0
Remarque importante :
 le carré d'une expression algébrique est strictement positif, sauf en d'éventuelles valeurs pour lesquelles
il s’annule.
 la racine carré d'une expression algébrique est positive ou nulle pour les valeur de la variable pour
laquelle elle est définie.
1-4- Astuce 2 : nécessité de factoriser au préalable
Exemple : étudier le signe de
g
(
x
)=
x
4
4
x
3
+
x
2
On ne peut pas étudier séparément les signes de
x
4
,
4
x
3
et
x
2
, car on sait étudier dans un
tableau le signe d'un produit, mais pas celui d'une somme !!
Il faut donc au préalable factoriser pour se retrouver avec des facteurs dont on sait étudier le signe !
g
(
x
)=
x
4
4
x
3
+
x
2
=
x
2
(
x
2
4
x
+
1
)
que l'on peut étudier comme produit de deux fonctions dont on sait
étudier le signe.
x
2
est positif pour toute valeur de x, sauf pour
x
=
0
(pour lequel
x
2
=
0
)
 pour
x
2
4
x
+
1
:
∆=(
4
)
2
4
×
1
×
1
=
16
4
=
12
Donc ce trinôme a deux racines : x
1
=(4)
√
12
2
×
1
=42
√
3
2
=2
√
3
x
2
=(4)+
√
12
2
×
1
=4+2
√
3
2
=2+
√
3
D'où : x–∞0
2
–
√
3
2
+
√
3
+∞
x
2
+ 0 + + +
x
2
4
x
+
1
+ + 0 – 0 +
g(x) + 0 + 0 – 0 +
Donc
g
(
x
)>
0
⇔ x ∈ ]∞
;
0
[ ∪ ]
0
;
2
√
3
[ ∪ ]
2
+
√
3
;
+∞ [
g
(
x
)=
0
⇔ x ∈ {0;
2
√
3
;
2
+
√
3
}
g
(
x
)<
0
⇔ x ∈ ]
2
√
3
;
2
+
√
3
[
2- Exemples d'applications
2-1- Variations d'une fonction (étude du signe de la dérivée)
On rappelle que les variations d'une fonction f dépendent du signe de sa fonction dérivée
f
'
.
2-2- Position d'une courbe par rapport à l'axe des abscisses
On rappelle que :
C
f
est au dessus de l'axe des abscisses si et seulement si
f
(
x
)>
0
(ce qui ramène un
problème géométrique à un problème algébrique d'étude de signe)
2-3- Positions relatives de deux courbes
Si
C
f
et
C
g
sont les courbes représentatives de deux fonctions, alors
C
f
est au dessus de
C
g
si et
seulement si
f
(
x
)>
g
(
x
) c'est à dire si et seulement si
f
(
x
)
g
(
x
)>
0
.(et on ramène un problème
géométrique à une étude de signe !)