UFR Sciences et Techniques Année 2007-2008 Master 1 de

UFR Sciences et Techniques Année 2007-2008
Master 1 de Mathématiques Statistiques
Feuille de TD no2
Le test du chi-deux
Exercice 1 (loi multinomiale)
On dispose de nboîtes numérotées de 1àndans lesquelles on veut répartir des boules de
kcouleurs différentes. Pour chaque couleur j= 1, . . . , k, on dispose d’un nombre de boules
supérieur à n. On ne peut mettre qu’une boule par boîte. Une «répartition» est une manière
de remplir les boîtes ; autrement dit une «répartition» est entièrement déterminée par la
couleur figurant dans chaque boîte.
Mathématiquement une «répartition» est donc une application fde l’ensemble B={b1, . . . , bn}
des nboîtes dans l’ensemble C={1, . . . , k}des kcouleurs.
1) Vérifier qu’il y a knrépartitions possibles.
2) On suppose qu’il y a k= 2 couleurs et soient n1et n2des entiers fixés tels que n1+n2=n.
Montrer que le nombre de répartitions avec n1boules de la couleur 1et n2boules de la cou-
leur 2est égal à n!
n1!n2!.
3) Si kest quelconque et si n1, . . . , nksont des entiers fixés tels que n1+· · ·+nk=n, montrer
que le nombre de répartitions avec njboules de la couleur j(j= 1, . . . , k) est égal à
n!
n1!. . . nk!.
4) Soit (X1, . . . , Xn)un n-échantillon d’une loi discrète p= (p1, . . . , pk)concentrée sur les
entiers 1,2, . . . , k et N= (N1, . . . , Nk)le vecteur aléatoire tel que
Nj=
n
X
i=1
1[Xi=j](nombre d’apparitions de la valeur jdans l’échantillon)
a) Démontrer que Njest une variable aléatoire binomiale B(n, pj).
b) Démontrer que la loi du vecteur aléatoire N(loi multinomiale de paramètre net p) est
donnée par
P(N1=n1, . . . , Nk=nk) = n!
n1!. . . nk!pn1
1. . . pnk
k,
où n1, . . . , nksont des entiers tels que n1+· · · +nk=n.
Exercice 2 (tester si une pièce est équilibrée)
On peut, bien qu’il y ait des méthodes plus efficaces, utiliser le test du chi-deux pour tester
si une pièce est truquée. Par exemple :
On a lancé 200 fois une pièce de monnaie et observé 115 faces et 85 piles. Utiliser le test du
chi-deux pour rejeter ou non l’hypothèse que la pièce est équilibrée, au niveau de confiance
1−α= 0,95 puis au niveau de confiance 0,99.

Exercice 3 (tester si des dés sont truqués)
Dans la même esprit que l’exercice précédent, on peut en observant seulement certains évé-
nements tester si un jeu est est régulier ou non. Par exemple :
Un jeu consiste à lancer une paire de dés (supposés non truqués). Un joueur qui avait parié
sur le «sept» et le «onze», a observé que sur 360 lancers, on a eu 74 fois «sept» et 24 fois
«onze». Au niveau de confiance 0,95, peut-on accepter l’hypothèse que les dés ne sont pas
truqués ?
Exercice 4 (tester un générateur de nombres au hasard)
Un générateur de nombres au hasard entre 0et 9a fourni 250 nombres et on observé les
résultats suivants. Etudier si au risque α= 0,05 puis 0,01, on peut accepter l’hypothèse que
le générateur est correct :
nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
fréquence 17 31 29 18 14 20 35 30 20 36
Exercice 5 (convergence vers la loi de Poisson)
Le test du chi-deux est basé sur le fait que pour tout i= 1, . . . , k la variable aléatoire
Ni−npi
√npi≈ N (0,1−pi)(voir le cours). Pour cela il convient que le produit npine soit pas trop
petit. Les statisticiens conviennent qu’il faut que npi≥10 sinon les résultats ne sont pas
bons. Considérons le vecteur constitué des k−1premières composantes e N= (N1, . . . , Nk−1)
du vecteur multinomial N(noter que la dernière composante est liée aux autres car Nk=
n−Pk−1
i=1 Ni).
On suppose que n→+∞et que npi=λireste constant et égal à λi>0. Démontrer
que le vecteur aléatoire (N1, . . . , Nk−1)converge en loi vers un vecteur limite (X1, . . . , Xk−1)
où les Xisont des variables aléatoires indépendantes de Poisson de paramètres respectifs
λ1, . . . , λk−1.
(indication : on montrera que la fonction caractéristique du vecteur e Nest de la forme
ϕe
N(t1, . . . , tk−1) = 1 + p1(eit1−1) + · · · +pk−1(eitk−1−1)n,
pour cela on reviendra à la définition de Nj(Exercice 1, 4)) et on écrira e Ncomme somme
de nvecteurs aléatoires indépendants et de même loi puis on écrira pi=λi
net on passera à
la limite).
Remarque : Ce résultat de convergence en loi s’interprête concrètement de la manière
suivante : si nest grand et les pisont très petits de telle sorte que les produits npi=λi
soient de taille raisonnable (entre 1et 9), alors le vecteur e Na une loi approximativement
égale à celle d’un vecteur de lois de Poisson indépendantes et de paramètres respectifs λi,
c’est à dire
P(N1=n1, . . . , Nk−1=nk−1) = e−λ1λn1
1
n1!. . . e−λk−1λnk−1
k−1
nk−1!.