Exercice I. Exercice II. 1. a) Soit M = Exercice III. Exercice IV

Exercice I.
Justier que F = (x; y; z; t) ∈ R4 /x + y − 2z = t et t − x + y = 0 est un espace vectoriel.
2. Expliciter une famille génératrice.
3. On note G1 = V ect((0; 1; 1; 0), (−1; 4; 0; 1)) et G2 = V ect((0; −1; 1; 0), (−1; 4; 0; 1)). Est-ce
que F ⊕ G1 = R4 ? Est-ce que F ⊕ G2 = R4 ?
1.
Exercice II.


2 −2 1
−3 2 
1. a) Soit M =  2
−1 2 0
2. a)
b)
3. a)
b)
Calculer (M − I3 )(M + 3I3 )
En déduire que M est inversible et calculer M −1
En déduire qu'il existe deux suites (yk ) et (vk ) telles que ∀k ∈ N, M k = uk I3 + vk M
Exprimer uk , vk puis M k explicitement en fonction de k.
Exercice III.
Discuter suivant les valeurs de x et y du rang de la matrice :

1 x 1 y
1 y 1 x

A= 
x 1 y 1
y 1 x 1

Exercice IV.

1 0
0
Soit A =  0 −2 −1 
0 1
2

1.
2.
A est-elle diagonalisable ?
Par des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, montrer que A est semblable

1
à B = 0
0
3.

0 0
1 0
0 1
Calculer An .
Exercice V.
Résoudre le système suivant, en discutant suivant les valeurs du paramètre m :

 mx + y + z
x + my + z

x + y + mz
Exercice VI.
Soit In =
R1
xn
dx
0 1+xn
1.
Montrer que In =
2.
Montrer que 0 ≤ In ≤
ln 2
n
−
1
n
1
n+1
R1
0
ln(1 + xn )dx.
.
1
= 1
= 1
= m
3.
En déduire que In converge et en donner sa limite.
Exercice VII.
∀n ∈ N, on considère fn dénie par :
1
Z
(1 − t2 )n cos(tx)dt
∀x ∈ R fn (x) =
0
et on pose In = fn (0) = 0 (1 − t2 )n dt.
1. Montrer que pour tout entier naturel n, fn est bornée.
2. Trouver pour tout entier naturel n et tout réel x, une relation entre fn+2 (x), fn+1 (x) et
fn (x).
3. a) En déduire une relation entre In+1 et In .
b) Donner une expression de In .
R1
Exercice VIII.
Soit F dénie sur ]0; +∞[ par :
Z
x
F : x 7→
1
1.
2.
ln(1 + t)
dt
t
Montrer que F est C 1 et que F (x) + F ( x1 ) =
En déduire que :
Z x
1
(ln x)2
2
ln(x + t)
1
dt = (ln x)2 + F (x)
t
2
Exercice IX.
Dans une classe de 20 élèves, la probabilité pour qu'un élève soit absent un jour donné s'élève à
5%. On admettra que les absences des diérents élèves pour un jour donné sont indépendantes
les unes des autres. Appelons X la variable aléatoire qui pour un jour prix au hasard correspond
au nombre d'élèves absents.
1. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. En déduire l'espérance mathématique de X , notée E(X).
2. Déterminer alors la probabilité de chacun des évènements suivnants :
a) Evènement A : pour un jour donné, il n'y a aucun élève absent.
b) Evènement B : pour un jour donné, il y a deux élèves absents.
c) Evènement C : pour un jour donné, il y a plus de deux élèves absents.
d) Evènement D : pour un jour donné, il y a entre deux et quatre élèves absents.
3. Montrer que l'on peut approcher la loi binomiale par une loi de Poisson dont on précisera
les paramètres.
4. Calculer alors, à l'aide de la loi de Poisson, les probabilités des évènements de la question 2.
5. Dans cette classe, 11 élèves sont des lles et 9 sont des garçons. En utilisant la méthode de
votre choix, calculez la probabilité pour que, un jour donné, une lle soit absente.
Exercice X.
A la réception de colis, un responsable doute de l'exactitude des masses achées sur les boites.
Il prélève au hasard 25 boites qu'il pèse. Soit xi la masse de la ieme boite. Il obtient :
25
X
xi = 49, 5kg et
i=1
25
X
x2i = 98, 3kg 2
i=1
On supposera que les masses de la production suivent une loi normale.
1. Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance de la masse des boites.
2. Calculer l'intervalle de conance de la variance, de l'écart-type et de la moyenne des masses
pour un risque xé à 5%.
2
3. Sachant que la masse achée sur chaque boite est de 2kg, les doutes du responsables sont-ils
justiés ?
4. Sachant que la variance de la production est de 0,01, calculer l'intervalle de conance de la
masse moyenne.
3