2015 sujet 3

17 mai 2016 13:28 2015-059-PSI-Mat2
Oral
Mathématiques 2
PSI
Pour traiter ce sujet le candidat est vivement invité à utiliser l’ordinateur à sa disposition, équipé de Python/Pyzo
et de Scilab.
1. Avec le logiciel, créer un tableau tel que pour tout de 2on ait
𝑖,𝑗 
si 
𝑖,𝑗  si 
2. On note et pour tout de 2, on pose 𝑛,𝑘 𝑛
.
a. Montrer que pour tout de , la série de terme général 𝑛,𝑘, pour de , est convergente.
On note 𝑛∞
𝑘=0 𝑛,𝑘 sa somme.
b. Donner la valeur exacte de 0et 1.
c. Exprimer pour tout ,𝑛+1 en fonction de 𝑖0⩽𝑖⩽𝑛.
d. En déduire les valeurs exactes de 𝑛pour dans .
3. On considère la série entière
∞
𝑛=0
𝑛
 𝑛.
a. Montrer que cette série entière est de rayon de convergence non nul, au moins égal à .
Pour tout de  , on note  ∞
𝑛=0
𝑛
 𝑛.
b. Donner une représentation à l’écran de sur un intervalle convenable.
c. Montrer que est solution sur d’une équation diérentielle linéaire homogène que l’on précisera.
d. En déduire une expression de sans le signe de sommation et une nouvelle représentation à l’écran
de sur un intervalle convenable.
e. Avec cette expression donner une nouvelle méthode pour calculer les 𝑛et vérier pour de .
f. Préciser le rayon de la série entière
∞
𝑛=0
𝑛
 𝑛.