Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 7 : feuille

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 7 : feuille de révisions
Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires qui prennent respectivement leurs valeurs dans {−1, 1} et dans {0, 3, 4}
et dont la loi jointe est donnée par le tableau ci-dessous
X = −1
X =1
Y =0 Y =3 Y =4
1/8
1/4
0
1/4
1/4
1/8
Ainsi, par exemple P(X = 1,Y = 3) = 41 .
1. Calculer la loi de X.
2. Calculer la loi de Y .
3. Calculer l’espérance et la variance de X et Y .
4. Calculer la loi de XY .
5. Calculer la covariance de X et Y .
6. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 2. On considère une variable X distribuée selon une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Exprimer en fonction de λ
1. E(3X + 5)
2. Var(2X + 1)
1
3. E X+1
.
Exercice 3. Un joueur entre dans un casino où on lui propose le jeu suivant. Il doit jouer à pile où face avec une pièce
équilibrée dix-mille fois de suite. La mise de départ est de 100 euros. S’il obtient “face” plus de 5150 fois il gagne deux
milles euros. Sinon il perd sa mise.
1. Estimer la probabilité que le joueur gagne.
2. Pensez-vous que ce jeu avantage le casino ou le joueur ? Quel devrait être le gain proposé par le casino pour que le jeu
soit équilibré ?
Exercice 4 (Loi du khi-deux). Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite N (0, 1).
1. Rappeler la moyenne et la variance de X. En déduire E(X 2 ).
2. Rappeler la densité de X. Calculer E(X 4 ).
3. Soit Y = X 2 . Calculer la variance de Y .
Soit n ∈ N∗ un entier naturel non nul. si X1 , ..., Xn sont des variables indépendantes et identiquement distribuées suivant
la loi normale centrée réduite, on dit que la variable Sn = X12 + ... + Xn2 suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté,
noté Sn ∼ Xn2 .
4. Calculer la moyenne et la variance de Sn .
5. On tire 200 variables gaussiennes centrées réduites, on les élève au carré et on les ajoute pour obtenir un nombre S.
Donner un intervalle dans lequel se situe S avec environ 95% de chances.
1
Exercice 5. (Minimum d’exponentielles).
1. On considère deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 exponentielles de paramètres respectifs λ1 et λ2 . Soit
Y = min(X1 , X2 ) le minimum de ces deux variables.
(a) Pour tout réel y calculer P(X1 > y).
(b) En déduire P(Y > y), puis la fonction de répartition F de la variable Y .
(c) En déduire que Y suit une loi exponentielle de paramètre λ1 + λ2 .
2. Deux guichets sont ouverts à une banque : le temps de service au premier (respectivement second) guichet suit une loi
exponentielle de moyenne 20 (respectivement 30) minutes. Alice et Bob arrivent ensemble à la banque : Alice choisit
le guichet 1 et Bob le 2. En moyenne, au bout de combien de temps sort le premier.
3. En moyenne combien de temps faut il pour que les deux soient sortis ?
Exercice 6. La variable aléatoire U suit une loi uniforme sur [0, 5]. On considère le trinôme aléatoire
P(x) = 4x2 + 4Ux +U + 2.
1. Donner l’expression de son discriminant en fonction de U.
2. Etudier le signe de la fonction D(u) = u2 − u − 2 sur R.
3. En déduire la probabilité pour que P ait deux racines réelles distinctes.
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