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Lyc´ee Hoche MPSI B Feuille Suites et fonctions `a valeurs complexes
1. (Evc01) D´efinition de l’exponentielle complexe 1
On rappelle que, si aest un nombre r´eel, on note
a+= max(a, 0), a−= max(−a, 0)
On a alors a=a+−a−.
a. Montrer, pour tout rr´eel positif la convergence de
la suite r´eelle (1 + 1
1! r+1 2! r2+· · · +1 n!rn)n∈N.
b. Soit (un)n∈Nune suite de nombres complexes, on
pose
sn=u0+u1+· · · +un
Sn=|u0|+|u1|+· · · +|un|
Montrer que la convergence de la suite r´eelle
(Sn)n∈Nentraˆıne celle de la suite complexe (sn)n∈N.
Dans toute la suite et pour tout nombre complexe
z, on note
sn(z) = 1 + 1
1!z+1 2!z2+· · · +1 n!zn,
Sn(z) = 1 + 1
1!|z|+1 2!|z|2+· · · +1 n!|z|n
=sn(|z|)
c. Montrer que (sn(z))n∈Nconverge. On note s(z) sa
limite.
d. Montrer que s(z) = s(z).
i. Montrer que, pour tout complexes zet z0,
sn(z)sn(z0)−sn(z+z0)
=X
(i,j)∈{0,...,n}2, i+j>n
ziz0j
i!j!
ii. Montrer que pour tout complexes zet z0,
X
(i,j)∈{0,...,n}2, i+j>n
ziz0j
i!j!
≤s2n(|z|+|z0|)−sn(|z|+|z0|)
iii. En d´eduire
∀(z, z0)∈C2, s(z+z0) = s(z)s(z0)
e. Soit zun nombre complexe fix´e, montrer que la
d´eriv´ee de t→s(tz) est zs(tz).
En fait on d´efinit la fonction exponentielle complexe en
posant exp(z) = s(z) pour tout nombre complexe z.
On vient de d´emontrer certaines des propri´et´es admises
en d´ebut d’ann´ee lors de la pr´esentation des fonctions
usuelles.
2. (Evc02) Soit zun nombre complexe de partie r´eelle aet
de partie imaginaire b. On se propose de d´eterminer la
limite de la suite
(1 + z
n)nn∈N
1Voir le cours Nombres complexes
a. Montrer qu’il existe un entier Ntel que
n≥N⇒Re(1 + z
n)) >0
b. Former l’expression trigonom´etrique de 1 + z
nen
utilisant la fonction arctan.
c. montrer que
(1 + z
n)nn∈N
→ez
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1R´emy Nicolai ˙fex˙vcpdf du 17 novembre 2014

Lyc´ee Hoche MPSI B Feuille Suites et fonctions `a valeurs complexes : corrig´es
1. pas de correction pour Evc01.tex
2. pas de correction pour Evc02.tex
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2R´emy Nicolai ˙fex˙vcpdf du 17 novembre 2014