Lycée Hoche MPSI B 1. Feuille Suites et fonctions à valeurs complexes Définition de l’exponentielle complexe On rappelle que, si a est un nombre réel, on note (Evc01) 1 a. Montrer qu’il existe un entier N tel que n ≥ N ⇒ Re(1 + − + a = max(a, 0), a = max(−a, 0) z )) > 0 n b. Former l’expression trigonométrique de 1 + utilisant la fonction arctan. On a alors a = a+ − a− . a. Montrer, pour tout r réel positif la convergence de 1 2 1 n 1 r + 2! r + · · · + n! r )n∈N . la suite réelle (1 + 1! z n en c. montrer que b. Soit (un )n∈N une suite de nombres complexes, on pose (1 + z n ) → ez n n∈N sn = u0 + u1 + · · · + un Sn = |u0 | + |u1 | + · · · + |un | Montrer que la convergence de la suite réelle (Sn )n∈N entraı̂ne celle de la suite complexe (sn )n∈N . Dans toute la suite et pour tout nombre complexe z, on note 1 1 1 z + z2 + · · · + zn, 1! 2! n! 1 1 1 Sn (z) = 1 + |z| + |z|2 + · · · + |z|n 1! 2! n! = sn (|z|) sn (z) = 1 + c. Montrer que (sn (z))n∈N converge. On note s(z) sa limite. d. Montrer que s(z) = s(z). i. Montrer que, pour tout complexes z et z 0 , sn (z)sn (z 0 ) − sn (z + z 0 ) X z i z 0j = i!j! 2 (i,j)∈{0,...,n} , i+j>n ii. Montrer que pour tout complexes z et z 0 , i 0j X zz (i,j)∈{0,...,n}2 , i+j>n i!j! ≤ s2n (|z| + |z 0 |) − sn (|z| + |z 0 |) iii. En déduire ∀(z, z 0 ) ∈ C2 , s(z + z 0 ) = s(z)s(z 0 ) e. Soit z un nombre complexe fixé, montrer que la dérivée de t → s(tz) est zs(tz). En fait on définit la fonction exponentielle complexe en posant exp(z) = s(z) pour tout nombre complexe z. On vient de démontrer certaines des propriétés admises en début d’année lors de la présentation des fonctions usuelles. 2. Soit z un nombre complexe de partie réelle a et de partie imaginaire b. On se propose de déterminer la limite de la suite z (1 + )n n n∈N (Evc02) 1 Voir le cours Nombres complexes Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1 Rémy Nicolai ˙fex˙vcpdf du 17 novembre 2014 Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites et fonctions à valeurs complexes : corrigés 1. pas de correction pour Evc01.tex 2. pas de correction pour Evc02.tex Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 2 Rémy Nicolai ˙fex˙vcpdf du 17 novembre 2014