Lycée Mohammed VI
CPGE Kénitra
Devoir Surveillé
N◦4
Pr. Idrissi Abdelatif
MPSI 1
La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des
raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies.
Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions
abordées.
⋆⋆⋆⋆⋆
Problème 1
L’objectif du problème est d’étudier l’ensemble noté Edes fonctions continues de Rdans Rsolutions d’une certaine
équation fonctionnelle. Soit f∈ C0(R,R)quelconque,
f∈ E ⇔ ∀(x, y)∈R2:f(x+y) + f(x−y)=2f(x)f(y)
On pourra utiliser librement le résultat suivant dont la démonstration n’est pas demandée.
Soit aun réel strictement positif fixé et
Da=nap
2qtq p∈Z, q ∈No
tout nombre réel est alors la limite d’une suite d’éléments de Da.
On appelle fonction cosinus hyperbolique la partie paire de la fonction exponentielle définie par :
∀x∈R,cosh(x) = ex+e−x
2
On appelle fonction sinus hyperbolique la partie impaire de la fonction exponentielle définie par :
∀x∈R,sinh(x) = ex−e−x
2
Partie I
1. Montrer que la fonction cos est dans E.
2. a. Montrer que cosh est paire et que sinh est impaire.
b. Soient x, y ∈R. Exprimer cosh(x+y)à l’aide des fonctions cosh et sinh en xet y.
c. En déduire que la fonction cosh est dans E.
3. Soit f∈ E et α∈R.
Montrer que la fonction fαdéfinie par : x7→ fα(x) = f(αx)est dans E.
4. On fixe un élément f∈ E. Montrer que :
a. f(0) ∈ {0,1}
b. Si f(0) = 0 alors fest la fonction identiquement nulle.
c. Si f(0) = 1 alors fest une fonction paire.
Partie II
La partie Fest constituée par les éléments de Eautres que la fonction identiquement nulle et qui s’annulent au moins
une fois. Dans toute cette partie fdésigne une fonction de Ffixée. On pose
E={x > 0tq f(x)=0}
1. a. Montrer que f(0) = 1 et que fs’annule au moins une fois sur R∗
+.
b. Montrer que Eadmet une borne inférieure que l’on notera a. Cette notation est valable pour toute la suite
de la partie.
c. Prouver que f(a)=0. En déduire a > 0.
d. Montrer que pour tous les x∈[0, a[,f(x)>0.
2. On définit un réel ωet une fonction gdans Rpar : ω=π
2aet g:x7→ cos(ωx).
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a. Soit qun entier naturel, montrer que : f(a
2q) + 1 = 2 f(a
2q+1 )2.
b. En déduire que pour tout entier naturel qon a : f(a
2q) = g(a
2q).
c. Prouver que f(x) = g(x)pour tout x∈Da.
3. Montrer que f=g. En déduire tous les éléments de F.
Partie III
Dans toute cette partie, fdésigne une fonction de Equi ne s’annule pas.
1. On définit par récurrence une suite avec les relations
u0=1
√2,∀n∈N:un+1 =r1 + un
2
Montrer que cette suite est croissante, majorée par 1 et préciser sa limite.
2. a. Montrer que f(x)≥1
√2pour tout xréel.
b. Montrer que f(x)≥1pour tout xréel.
3. Montrer qu’il existe un réel α≥0tel que
∀x∈R:f(x) = cosh(αx)
Problème 2
Le but de ce problème est de démontrer le résultat suivant :
Théorème Pour tous n, q ∈N∗, on a :
n!|
n−1
Y
k=0
(qn−qk)
Pour tous n, q ∈N∗, on pose dans la suite :
Pn,q =
n−1
Y
k=0
(qn−qk)
La lettre Pdésigne l’ensemble des nombres premiers.
Si Eest un ensemble fini, on pourra noter Card(E)le nombre d’éléments de E, appelé cardinal de E.
On admettra que si Fest un sous-ensemble de E, alors E\Fest un ensemble fini de cardinal :
Card(E\F) = Card(E)−Card(F)
Partie A : formule de Legendre
On rappelle que, si pest un nombre premier, alors la valuation p-adique d’un entier a∈N∗est définie par :
vp(a) = max{k∈N|pk|a}
1. Justifier l’existence de vp(a).
2. En vertu du théorème des nombres premiers, on a la décomposition suivante :
∀a∈N∗, a =Y
p∈P
pvp(a)
Justifier pourquoi ce produit est fini.
3. Soient a, b ∈N∗et p∈ P. Montrer que vp(ab) = vp(a) + vp(b).
4. Montrer que :
∀a, b ∈N∗, a|b⇔(∀p∈ P, vp(a)≤vp(b))
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5. Soient n∈N∗et p∈ P. On pose Np=ln(n)
ln(p).
Montrer que :
∀k∈N∗, k > Np⇒n
pk= 0
6. Soit m∈N∗. Calculer le nombre de multiples de mappartenant à l’ensemble J1, nK.
7. Soit k∈N∗. On pose Ak={ℓ∈J1, nK|vp(ℓ) = k}. Montrer que :
Card(Ak) = n
pk−n
pk+1
Calculer le cardinal de l’ensemble Ak.
8. En déduire que :
vp(n!) =
Np
X
k=1
k n
pk−n
pk+1
puis que :
vp(n!) =
Np
X
k=1 n
pk(formule de Legendre)
9. Applications
a. Calculer le nombre zéros par lequel se termine le nombre 2024!.
b. i. Montrer que :
∀x, y ∈R,⌊x⌋+⌊y⌋+⌊x+y⌋≤⌊2x⌋+⌊2y⌋
ii. En déduire que :
∀a, b ∈N,(2a)!(2b)!
a!b!(a+b)! ∈N
Partie B : démonstration du théorème
1. Soient p∈ P et a∈N\(pZ). Montrer que :
∀k∈N∗, apk−pk−1≡1[pk]
2. Montrer que :
∀n, q ∈N∗, Pn,q =qn(n−1)
2
n
Y
k=1
(qk−1)
3. Soient n∈N∗et p∈ P.
a. On suppose que pest un facteur premier de q.
i. Justifier que vp(Pn,q) = n(n−1)
2vp(q).
ii. En utilisant la formule de Legendre, montrer que vp(n!) ≤n(n−1)
2.
iii. Conclure que vp(n!) ≤vp(Pn,q).
b. On suppose que pn’est pas un facteur premier de q.
i. En utilisant la question 1. Partie B, montrer que :
∀k, ℓ ∈N∗, pk−pk−1|ℓ⇒pk|qℓ−1
ii. Déterminer un entier Mp∈N∗tel que pMp−pMp−1> n.
iii. Montrer alors que :
vp(Pn,q)≥
Mp
X
k=1
k n
pk−pk−1−n
pk+1 −pk
puis, en calculant la somme ci-dessus, que :
vp(Pn,q)≥
Mp
X
k=1 n
pk−pk−1
iv. En déduire que vp(n!) ≤vp(Pn,q).
4. Démontrer le théorème.
FIN
3
1
/
3
100%
