Chapitre II :PGCD

Chapitre II :PGCD - P.P.C.M
I- P.G.C.D. :
Définition 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. L'ensemble des diviseurs commun à a et à b
admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur noté
p.g.c.d. a ; b
ou
a∧b
.
Démonstration :
Remarque :
1. Si
b|a
alors
a∧b=b
.
2.
a∧b∈ℕ*
.
3.
a∧b=∣a∣∧∣b∣
.
4.
a∧0=a
.
Exemple : Déterminer
48∧18
.
Théorème 1 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors il existe q et r tels que :
a=b×qr
avec
0rb
et on a :
a∧b=b∧r
.
Démonstration :
Théorème 2 : ( Algorithme d'Euclide )
Soit a et b deux entiers naturels non nuls; on considère la suite d'entiers naturels
rn
définie par :
r0=b
r1
est le reste de la division euclidienne de a par b.
Si
r1≠0
,
r2
est le reste de la division euclidienne de b par
r1
.
Si
r2≠0
,
r3
est le reste de la division euclidienne de
r1
par
r2
.
..........................................
Si
rn−1≠0
,
rn
est le reste de la division euclidienne de
rn−2
par
rn−1
.
La suite
rn
des restes est finie et le dernier reste non nul est le p.g.c.d. de a et de b.
Démonstration :
Exemple : Déterminer
48∧18
.
Corollaire 1 : Les diviseurs communs à a et à b sont les diviseurs du p.g.c.d. de a et de b.
Démonstration :
Corollaire 2 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et
k∈ℤ*
alors
ka ∧kb=∣k∣ a∧b
.
Démonstration :
Définition 2 : Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si leur
p.g.c.d.
est 1.
Exemple : Démontrer que 35 et 48 sont premiers entre eux.
Propriété 1 : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
d=a∧b
si, et seulement si,
il existe deux entiers relatifs a' et b' tels que :
a=a ' d ;b=b ' d
avec
a '∧b ' =1
.
Démonstration :
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II- Théorème de Bézout :
Théorème 3 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, a et b sont premiers entre eux si,
et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tel que
a ub v=1
.
Démonstration et détermination de u et v dans le cas où
a=48
et
b=35
:
Théorème 4 : Soit a,
b1
et
b2
des entiers naturels non nuls. Si
a∧b1=1
et
a∧b2=1
alors
a∧b1b2=1
Démonstration :
Théorème 5 : ( caractérisation du p.g.c.d. ) Soit a et b deux entiers naturels non nuls,
a∧b=d
si, et seulement si,
d|a
,
d|b
et il existe deux entiers relatifs u et v tel que
a ub v =d
.
Démonstration :
III - Théorème de Gauss :
Théorème 6 : Soit a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que
a|bc
. Si
a∧b=1
alors
a|c
.
Démonstration :
Corollaire 3 : Si un nombre premier p divise le produit
ab
de deux entiers naturels a et b,
alors
p|a
ou
p|b
.
Démonstration :
Remarque : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si p divise
an
alors p divise a.
Corollaire 4 : Soit p un nombre premier qui divise le produit ab de deux nombres premiers a et b
alors
p=a
ou
p=b
.
Démonstration :
Corollaire 5 : Si deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux et divisent un entier c,
alors
ab |c
.
Démonstration :
IV – Fractions irréductibles :
Définition 3 : Si
a∧b=1
alors on dit que la fraction
a
b
est irréductible.
Théorème 7 : Toute fraction est égale à une fraction irréductible.
Démonstration :
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V – Petit théorème de Fermat :
Théorème 8 : Si p est un entier naturel premier avec deux entiers naturels a et b alors
p est premier avec le produit
ab
.
Démonstration :
Théorème 9 : (Petit théorème de Fermat)
Soit a un entier relatif et p un nombre premier. Si p ne divise pas a alors
ap−1≡1[p]
.
Démonstration :
Corollaire 6 : Soit p un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p alors
a∧p=1
.
Démonstration :
Corollaire 7 : Si p est un nombre premier alors
ap≡a[p]
Démonstration :
VI – P.P.C.M.:
Définition 4 : Le plus petit commun multiple de deux entiers naturels non nuls a et b est appelé
P.P.C.M., noté p.p.c.m.(a , b) ou
a∨b
.
Démonstration de l'existence :
Théorème 10 : Soit a et b deux entiers naturels non nuls alors
1.
a∧ba∨b=ab
.
2. Tout multiple commun à a et à b est un multiple de
a∨b
.
Démonstration :
Utilisation de la décomposition en produit de nombres premiers pour la recherche de pgcd, de
ppcm.
Soit a = 16632 et b = 540. Déterminer
a∧b
et
a∨b
.
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