Nombres premiers entre eux - XMaths

http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Arithmétique 4 / 4
Nombres premiers entre eux
Deux entiers relatifs non nuls sont premiers entre eux si leur Pgcd est égal à 1.
Soit a un entier relatif non nul.
Si p est premier et si p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux.
Un nombre premier est premier avec tout entier qui n'est pas l'un de ses multiples.
Théorème de Bézout
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b premiers entre eux ⇔ il existe u et v éléments de ZZ tels que au + bv = 1
Théorème de Gauss et conséquences
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et c un entier relatif.
Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
Soient a et b deux entiers relatifs et p un nombre premier.
Si p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b.
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls premiers entre eux et n un entier naturel
Si n est divisible par a et par b, alors n est divisible par le produit ab.
Soient a , b deux entiers relatifs non nuls et D un entier naturel non nul.
D = Pgcd(a ; b) ⇔ a
D et b D entiers relatifs non nuls premiers entre eux.
⇔ a = Da' et b = Db' ,
avec a' et b' entiers relatifs non nuls premiers entre eux.