DS 1

Correction Devoir surveillé n°1 02/10/12
Exercice 1
Déterminer tous les nombres entiers relatifs n tels que n – 4 divise 3n + 24.
n – 4 divise 3n + 24 et n – 4 donc n – 4 divise 3n + 24 – 3(n – 4).
C'est-à-dire n – 4 divise 36.
Les diviseurs de 36 sont : -36 ; -18 ; -12 ; -9 ; -6 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
Donc n – 4 doit prendre l’une de ces valeurs.
Autrement dit, n doit être égal à -32 ; -14 ; -8 ; -5 ; -2 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ;
8 ; 10 ; 13 ; 16 ; 22 ou 40.
Il reste alors à vérifier pour chacune de ces valeurs, que n – 4 divise 3n + 24.
Exercice 2
Déterminer le reste de la division euclidienne de 10 000 par 23 puis de
-10 000 par 23.
10 000 = 23 × 434 + 18. Le reste est donc 18 qui est bien compris entre 0 et
23.
-10 000 = 23 × (- 435) + 5. Le reste est donc 5 qui est bien compris entre 0 et
23.
Exercice 3
1. Montrer que tout nombre entier naturel peut s’écrire sous la forme
2k ou 2k + 1 avec k un nombre entier naturel.
Le reste de la division Euclidienne d’un entier n par 2 est compris
entre 0 et 2. Il vaut donc 0 ou 1.
Ainsi n = 2k ou n = 2k + 1, avec k entier naturel.
2. Soit N un nombre entier naturel impair. On suppose N = a² - b² avec
a et b deux entiers naturels non consécutifs et non nuls.
a. Montrer que a et b n’ont pas la même parité.
- Si a et b étaient pairs alors a = 2k et b = 2k’.
Ainsi N = 4k² - 4k’² = 2(2k² - 2k’²) serait pair, ce qui est
absurde.
-
Si a et b étaient impairs alors a = 2k + 1 et b = 2k’ + 1.
Ainsi N = (2k + 1)² - (2k’ + 1)² = 2(2k² + 2k – 2k’² - 2k’) serait
pair, ce qui est absurde.
Ainsi a et b sont de parités différentes.
b. Montrer que N peut s’écrire comme un produit de deux entiers
naturels p et q, tous les deux distincts de 1.
N = (a – b)(a + b). Posons p = a – b et q = a + b.
p ≠ 1 car a et b ne sont pas consécutifs.
q ≠ 1 car a et b sont non nuls.
c. Quelle est la parité de p ? et celle de q ?
La somme ou la différence de deux entiers de parités différentes
est un entier impair donc p et q sont impairs.
Exercice 4 : Trouver tous les entiers qui, divisés par 5, donnent un
quotient entier égal à 3 fois le reste.
On souhaite que n = 5q + r avec q = 3r et 0 ≤ r < 5.
C'est-à-dire n = 5×3r + r = 16r et 0 ≤r < 5.
N est donc égal à 0 ; 16 ; 32 ; 48 ou 64.