Olympiade Française de Mathématique Envoi 3 : théorie des nombres Problèmes à rédiger Ces problèmes sont à rédiger sur des copies séparées en n’écrivant que d’un seul côté de la feuille et en n’oubliant pas de reporter son nom sur chaque feuille. Problème 1. Soit a; b; c des entiers supérieurs ou égaux à 1 tels que 1 1 1 + = . a b c En notant d le pgcd des entiers a; b; c, montrer que les entiers abcd, d (a + b) et d (a Problème 2. Trouver tous les entiers n 1 et p 1, où p est un premier > n 2, tels que np c) sont des carrés parfaits. 1 divise (p n 1) + 1. Problème 3. Soit a0 ; :::; an des entiers avec n 1 et an 6= 0 et P la fonction x 7! an xn + ::: + a1 x + a0 . Dans l’ensemble des nombres premiers, on considère le sous-ensemble A caractérisé par : p 2 A si et seulement s’il y existe un entier k 2 N véri…ant p divise P (k). Montrer que A est in…ni. Problème 4. Soit A un ensemble de nombres premiers ayant au moins 3 éléments. On suppose que, pour toute partie P Q …nie, stricte, de A, les diviseurs premiers de l’entier 1 sont dans A. Montrer que A est l’ensemble p2P p des nombres premiers. Problème 5. La suite (un ) est déterminée par u0 = u1 = 0 et par un+2 = un + un+1 + 1 pour n 0. Montrer qu’il existe deux termes consécutifs de cette suite qui sont tous deux divisibles par 20082009 Problème 6. Trouver tous les entiers n puissance de 2. 1 pour lesquels le nombre de diviseurs positifs de ppcm f1; 2; :::; ng est une 1