Envoi 3 - Animath

Olympiade Française de Mathématique
Envoi 3: théorie des nombres
Problèmes à rédiger
Ces problèmes sont à rédiger sur des copies séparées en n’écrivant que d’un seul côté de la feuille et en
n’oubliant pas de reporter son nom sur chaque feuille.
Problème 1.
Soit a; b; c des entiers supérieurs ou égaux à 1tels que
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a+1 b=1 c.
En notant dle pgcd des entiers a; b; c, montrer que les entiers abcd,d(a+b)et d(ac)sont des carrés parfaits.
Problème 2.
Trouver tous les entiers n1et p1, où pest un premier >n
2, tels que np1divise (p1)n+ 1.
Problème 3.
Soit a0; :::; andes entiers avec n1et an6= 0 et Pla fonction x7! anxn+::: +a1x+a0.
Dans l’ensemble des nombres premiers, on considère le sous-ensemble Acaractérisé par : p2Asi et
seulement s’il y existe un entier k2Nvéri…ant pdivise P(k). Montrer que Aest in…ni.
Problème 4.
Soit Aun ensemble de nombres premiers ayant au moins 3éléments. On suppose que, pour toute partie P
…nie, stricte, de A, les diviseurs premiers de l’entier Qp2Pp1sont dans A. Montrer que Aest l’ensemble
des nombres premiers.
Problème 5.
La suite (un)est déterminée par u0=u1= 0 et par un+2 =un+un+1 + 1 pour n0.
Montrer qu’il existe deux termes consécutifs de cette suite qui sont tous deux divisibles par 20082009
Problème 6.
Trouver tous les entiers n1pour lesquels le nombre de diviseurs positifs de ppcm f1;2; :::; ngest une
puissance de 2.
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