Envoi 3 - Animath
Olympiade Française de Mathématique
Envoi 3: théorie des nombres
Problèmes à rédiger
Ces problèmes sont à rédiger sur des copies séparées en n’écrivant que d’un seul côté de la feuille et en
n’oubliant pas de reporter son nom sur chaque feuille.
Problème 1.
Soit a; b; c des entiers supérieurs ou égaux à 1tels que
1
a+1
b=1
c.
En notant dle pgcd des entiers a; b; c, montrer que les entiers abcd,d(a+b)et d(ac)sont des carrés parfaits.
Problème 2.
Trouver tous les entiers n1et p1, où pest un premier >n
2, tels que np1divise (p1)n+ 1.
Problème 3.
Soit a0; :::; andes entiers avec n1et an6= 0 et Pla fonction x7! anxn+::: +a1x+a0.
Dans l’ensemble des nombres premiers, on considère le sous-ensemble Acaractérisé par : p2Asi et
seulement s’il y existe un entier k2Nvéri…ant pdivise P(k). Montrer que Aest in…ni.
Problème 4.
Soit Aun ensemble de nombres premiers ayant au moins 3éléments. On suppose que, pour toute partie P
…nie, stricte, de A, les diviseurs premiers de l’entier Qp2Pp1sont dans A. Montrer que Aest l’ensemble
des nombres premiers.
Problème 5.
La suite (un)est déterminée par u0=u1= 0 et par un+2 =un+un+1 + 1 pour n0.
Montrer qu’il existe deux termes consécutifs de cette suite qui sont tous deux divisibles par 20082009
Problème 6.
Trouver tous les entiers n1pour lesquels le nombre de diviseurs positifs de ppcm f1;2; :::; ngest une
puissance de 2.
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