2/3 est un nombre complexe?

MAT1702B Hiver 2017
Tanya Schmah
Exercises sur les Nombres Complexes
1. Est-ce que −2/3 est un nombre complexe?
2. Soit z = 4 − 2i, w = −2 + 3i Calculez:
(a) z̄, w̄
(b) |z|, |w|
(c) 1/z, 1/w
(d) z + w
(e) zw
(f) z/w
(g) w/z
1 − 2i
sous forme a + bi (forme Cartésienne).
−3 + 5i
π
π
. Calculez z 2 et 1/z.
4. (Forme polaire) Soit z = 2 cos + i sin
4
4
Montrez tous ces nombres sur un diagramme du plan complexe.
π
π
5. Si w = 5 cos + i sin
et z = 3 cos π3 + i sin π3 , calculez wz et w/z.
4
4
3. Écrivez
6. Si z = r (cos θ + i sin θ) et k est un entier positif, démontrez que
z k = rk (cos kθ + i sin kθ) .
Ceci est appellé la Formule de De Moivre.
7. Démontrez que pour tout w, z ∈ C,
(a) z = z̄ si et seulement si z est réel.
(b) w + z = w̄ + z̄
(c) wz = w̄z̄
(d) |wz| = |w||z|
(e) |w + z| ≤ |w| + |z| (Inégalité triangulaire)
8. Trouvez toutes les racines de:
(a) 2z 2 + 18
(b) z 2 + 3 z 2 − 3
(c) z 2 − 2z + 2
(d) z 4 − 2z 3 + 2z 2