DiffInt-10 Sol

Chapitre 10 – Intégrale indéfinie 187
CHAPITRE 10
EXERCICES 10.2
1.
xdx x
k
∫
=+
2
2
2.
33 3
3
2233
xdx xdx xkx
k
∫∫
==
+= +
3.
44 4
22
22
xdx xdx xkx
k
∫∫
==
+= +
4.
edx e
k
xx
∫=+
5.
354 3 5 4
335245
24
22
32 32
xxdxxdxxdxdx
xx
xkx x x
k
––
––
+
()
=+
=
++= ++
∫∫∫∫
6.
25 210 2 10
2410 32 10 3
23232
43 43
tt tdt t t dt t dt td
t
tt
ktt
k
–– –
––
()
=
()
=
=
+= +
∫∫ ∫∫
7.
234 2 3 4
2332423324
22
32 32
yydy ydyydydy
yy
yk yyy
k
––
––
+
()
=+
=
++= ++
∫∫∫∫
8.
yydy y dy ydy dy yyy
k
33 4
515 145–– –ln+
=+=
++
∫∫∫∫
9.
55 5
3
22
3
exdx edxxdxex
k
xx x
+
()
=+=++
∫∫∫
10.
52 5 2 5
522
44 55
xedx xdxedxxekx e
k
xxxx
+
()
=+=
++=++
∫∫∫
11.
xxedx xdx xdx e dx
xxe kxxe
k
xx
xx
33
44
211 21
1
24 8
++
=++
=
+++=+++
∫∫∫∫
ln ln
12.
3535
13355
22 33
x
x
dx x dx
x
dx xxkx x
k
+
=+= ++=++
∫∫∫
ln ln

188 Chapitre 10 – Intégrale indéfinie
13. En intégrant, on obtient :
32 3 2 3
322
22 32 32
xxdxxdxxdxxx kx x
k
+
()
=+=
+ +=++
∫∫∫
La famille de primitives est donc : F(x) = x3 + x2 + k
Puisque F(1) = 5, on a par substitution : F(1) = 2 + k = 5
d’où k = 3 et la solution particulière est : F(x) = x3 + x2 + 3
14. En intégrant, on obtient :
1
xdx =ln|x|+k
La famille de primitives est donc : F(x) = ln|x| + k
Puisque F(e) = 3, on a par substitution : F(e) = ln|e| + k = 3
d’où k = 2 et la solution particulière est : F(x) = ln |x| + 2
15. En intégrant, on obtient :
111
221
xdx x dx xkxk
==+=+
∫∫
––
––
La famille de primitives est donc :
Fx xk() –=+
1
Puisque F(1) = 2, on a par substitution : F(1) = –1 + k = 2
d’où k = 3 et la solution particulière est :
Fx x () –=+
13
16. En intégrant, on obtient :
xxdx x dx x dx xx kxxk+
=+ =++= +
∫∫∫
122 2 1
2
3322 2 2
––
––
La famille de primitives est donc :
F
(x)=x
2
2–1
2x
2
+k
Puisque F(1/2) = 0, on a par substitution :
F
(1/2) = 1
8–2+k=0
d’où k = 15/8 et la solution particulière est :
F
(x)=x2
2–1
2x2+15
8
17. En intégrant, on obtient :
exdxedxxdxexk
xx x
+
()
=+=++
∫∫∫
22
3
3
La famille de primitives est donc :

Chapitre 10 – Intégrale indéfinie 189
Fx e xk
x
()=+ +
3
3
Puisque F(2) = 5, on a par substitution
Fe k()22
35
23
=+ +=
d’où k = – 5,06 et la solution particulière est :
Fx e x
x
() –,=+
3
3506
18. En intégrant, on obtient :
xdxxdx dx xxk
22 3
13 +
()
=+=++
∫∫∫
La famille de primitives est donc :
Fx xxk()=++
3
3
Puisque F(3) = 8, on a par substitution :
Fk()33
338
3
=++=
d’où k = – 4 et la solution particulière est :
Fx xx() –=+
3
34
19.
xxdx xdx dx xdx dx x dx x xkxxk
2
222 21
3133
33
13+=+
=+ =+ =+ += +
∫∫ ∫∫∫∫
––
––
20.
x
xdx xxdx x dx xkxk
2
12
232 12
12 2
∫∫∫
===+=+ ––
––
21.
xxdx x xdx x x dx xxxkxxxk+
=++
=++
()
=++ +=+ +
∫∫ ∫
12123213
21
22222
313
––
––
22.
253 25 353
22
xx
xdx x xdx x x x k
–––ln|| +=+
=++
∫∫
23. (xdxxxdx
xxxk
242
53
44 5434+2)
2
∫∫
=++
()
=+ ++
24. xx dx x xdx x xkx
xk
––––
(ln||
–ln | | –
32 1 3 2
2
22
21
+2)
∫∫
=+
()
=++= +
25.
tan
sec sin cos cos sin – cos
x
xdx x xxdx xdx x k
∫∫ ∫
=× = =+
26.
cot
csc cos sin sin cos sin
x
xdx x xxdx xdx x k
∫∫ ∫
=× = =+
27. cot (csc – ) – cot –
22
1xdx x dx xxk
∫∫
==+
28.
sin
cos sec tan sec
xxdx x x dx x k
2
∫∫
==+

190 Chapitre 10 – Intégrale indéfinie
29.
xxdx12
2
+
∫
. En posant u = 1 +2x2, on obtient du = 4xdx et xdx= du/4. En substituant, on obtient alors :
xxdxu
du udu ukuu kxx
k12 41
41 432 6 12 12 6
212
32 2 2
+= = =+= += ++ +
∫∫∫
()
30.
cos sinxxdx12 +
∫
, en posant u = sin2x, on obtient du = 2 sinx cos x dx. Le choix de u n’est pas approprié car il ne
permet pas d’écrire toute l’expression à intégrer en fonction de u.
31.
cos sinxxdx12 +
∫
, en posant u = sinx, on obtient du = cos x dx. Le choix de u est approprié car il permet d’écrire
toute l’expression à intégrer en fonction de u. Cela donne :
cos sinxxdxudu11
22
+=+
∫∫
. Malgré le change-
ment de variable, on ne peut intégrer directement avec les méthodes présentées jusqu’ici.
32.
(ln )x
xdx
2
∫
, en posant u = ln x, on obtient
du xdx=1
. En substituant, on obtient alors :
(ln ) (ln )x
xdx u du ukxk
2233
33
∫∫
==+=+ .
33.
(ln )x
xdx
2
2
∫
, en posant u = ln x, on obtient
du xdx=1
. Le choix de u n’est pas approprié car il ne permet pas d’écrire
toute l’expression à intégrer en fonction de u. Le changement de variable ne permet pas d’intégrer dans ce cas.
34.
e
xdx
x
∫
, en posant
ux=
, on obtient
du xdx=1
2
, d’où :
dx
xdu=2
. En substituant, on obtient :
e
xdx e du e du e k e k
xuuux
∫∫∫
===+=+22 2 2
.
35. xxdxcos2
∫
, en posant u = 2x, on obtient du = 2dx. Le choix de u n’est pas approprié car il ne permet pas d’écrire toute
l’expression à intégrer en fonction de u. Il n’y a cependant pas d’autre choix possible. Le changement de variable ne
permet pas d’intégrer dans ce cas.
36. xxdxcos ,
2
∫
en posant u = x2, on obtient du = 2xdx et xdx = du/2. En substituant, on obtient :
xxdx u
du uk x kcos cos sin sin
22
21 21 2
∫∫
==+=+
.
37. En posant u = 5z3 + 20, on a du = 15z2 dz, d’où
du zdz
35
2
=
.
Et, par substitution 55 20 1
31 32 1 6520
23 232
zz dz udu ukz k() ()+= =+=++
∫∫
.
38. En posant u = 3t, on a du = 3 dt, d’où
du dt
3=
.
Et, par substitution :
sin sin – cos – cos3 1
31 31 33tdt udu u k t k
∫∫
==+=+
.

Chapitre 10 – Intégrale indéfinie 191
39.
3313
tdt tdt t k==+
∫∫ ln
.
40. En posant u = 2t, on a du = 2 dt, d’où
du dt
2=
.
Et, par substitution :
cos sin sin2 1
21 21 22tdt du u k t k cos u
∫∫
==+=+
..
41. (sin cos ) sin cos – cos sinttdt tdt tdt t t k+=+=++
∫∫∫
.
42. En posant u = 2πt, on a du = 2π dt, d’où
du dt
2π=
.
Et, par substitution :
sin sin – cos – cos2 1
21 21 22π= π=π+= ππ+
∫∫
tdt udu u k t k
.
43. En posant u = 2x, on a du = 2 dx, d’où
du dx
2=
.
Et, par substitution :
edx edu e k e k
xuu x22
1
21 21 2
==+=+
∫∫
.
44. En posant u = 3x2, on a du = 6x dx, d’où
du xdx
6=
.
Et, par substitution :
44
62 32 3
33
22
xe dx e du e k e k
xuux
==+=+
∫∫
.
45. En posant u = x2 + 2x, on a du = (2x + 2) dx, d’où
du xdx
21=+()
.
Et, par substitution :
()( ) ( )xxxdx uduukxxk++ = =+= ++
∫∫
12 1
21 22 1 42
2222
.
46. En posant u = 3x2 –5x + 4, on a du = (6x – 5) dx.
Et, par substitution :
(–)( – ) (– )653 54 21
2354
2222
xxxdxudu
ukxx k+= =+= ++
∫∫
.
47. En posant u = x2 – 4, on a du = 2x dx.
Et, par substitution :
2414
22
x
xdx udu u k x k –ln ln –==+= +
∫∫
.
48. Puisque
cos cos
21
212xx=+
()
, on a :
cos (
2
1
221 21 22xdx x dx dx x dx 1+cos ) cos ==+
∫∫ ∫∫
.
En posant u = 2x on obtient du = 2 dx, d’où
du dx
2=
.
Et, par substitution :
cos sin sin
21
21 42
1
42
1
42xdx dx udu xuk xxk cos =+ =+ +=+ +
∫∫∫
.
49. Puisque
sin – cos
21
212xx=
()
, on a :
sin ( –
2
1
21 21 22ωω ωtdt t dt dt t dt 1–cos 2 ) cos ==
∫∫ ∫∫
.