Les nombres complexes

Les nombres complexes
Forme algébrique
Partie réelle, partie imaginaire
La forme algébrique d’un nombre complexe est a+ib où aet bsont deux réels.
Si z=a+ib où a∈Ret b∈R,aest la partie réelle de z, notée Re(z), et best la partie imaginaire de z, notée Im(z).
La partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe sont des nombres réels.
La partie imaginaire de 3+2iest 2et n’est pas 2i.
Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.
Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires.
Pour tous RÉELS aet b,a+ib =0⇔a=b=0.
Pour tous RÉELS a,a′,bet b′,a+ib =a′+ib′⇔a=a′et b=b′.
Opérations dans C.
On calcule dans Ccomme on calcule dans R.
Addition des complexes. Pour tous réels a,b,a′et b′,(a+ib)+(a′+ib′)=(a+a′)+i(b+b′).
Multiplication des complexes. Pour tous réels a,b,a′et b′,(a+ib)×(a′+ib′)=(aa′−bb′)+i(ab′+ba′).
En particulier, i2=−1.
Inverse d’un complexe non nul. Pour tous réels aet btels que a+ib ≠0,1
a+ib =a−ib a2+b2.
On obtient l’inverse d’un nombre complexe non nul a+ib (où aet bsont des réels) en multipliant le numérateur et le
dénominateur de la fraction 1
a+ib par a−ib qui est le conjugué du dénominateur.
Conjugué
Soit z∈C. On pose z=a+ib où aet bsont deux réels. Le conjugué de zest z=a−ib.
Pour tout nombre complexe z,zest réel si et seulement si z=z.
Pour tout nombre complexe z,zest imaginaire pur si et seulement si z=−z.
Propriétés de calculs. « Le conjugué marche bien avec tout » :
Pour tous nombres complexes zet z′,z+z′=z+z′.
Pour tous nombres complexes zet z′,z×z′=z×z′.
Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nul n,zn=zn.
Pour tout nombre complexe non nul z,1
z= 1 z.
Pour tout nombre complexe zet tout nombre complexe non nul z′,z
z′= z
z′.
Exemple. Pour xréel et zcomplexe, 1+2i−z
(1+iz)2+eiθ (1+ix)2(3−2i)= 1−2i−z (1−iz)2+e−iθ (1−ix)2(3+2i).
Attention, le conjugué de zn’est pas −zmais est z.
Module
Soit z∈C. On pose z=a+ib où aet bsont deux réels. Le module de zest z=√a2+b2.
Pour tout nombre complexe z=a+ib,aet bréels, zz =z2=a2+b2.
Pour tout nombre complexe non nul z,1
z=z z×z=z z2.
Propriétés de calculs. « Le module marche bien avec la multiplication » :
© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

Pour tous nombres complexes zet z′,z×z′=z×z′.
Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nul n,zn=zn.
Pour tout nombre complexe non nul z,1
z= 1 z.
Pour tout nombre complexe zet tout nombre complexe non nul z′,z
z′= z z′.
« Le module ne marche pas bien avec l’addition » :
Pour tous nombres complexes zet z′,z+z′z+z′(inégalité triangulaire).
L’équation du second degré dans Cà coefficients réels
Soient a,bet ctrois nombres réels tels que a≠0. On pose ∆=b2−4ac et on note δun nombre complexe tel que
δ2=∆.
On note (E)l’équation az2+bz +c=0, équation d’inconnue complexe z. Dans tous les cas, (E)admet deux solutions
complexes :
z1=−b+δ
2aet z2=−b−δ 2a.
Plus précisément,
Si ∆>0, Si ∆=0, Si ∆<0,
(E)admet deux solutions réelles dis-
tinctes : (E)admet une solution réelle double (ou encore deux solutions confon-
dues) :
(E)admet deux solutions non réelles
conjuguées :
z1=−b+√∆
2aet z2=−b−√∆ 2a.z1=z2=− b 2a.z1=−b+i√−∆ 2aet z2=−b−i√−∆ 2a.
Interprétation géométrique
Affixe d’un point, affixe d’un vecteur. Image ponctuelle, image vectorielle
d’un nombre complexe
+
O
M(z)
x
y
Ð→
u
x
y
Si Mest le point de coordonnées (x, y), l’affixe de Mest le nombre zM=x+iy.
Si Ð→ uest le vecteur de coordonnées (x, y), l’affixe de Ð→ uest le nombre zÐ→
u=x+iy.
Si z=x+iy où xet ysont deux réels alors
- l’image ponctuelle de zest le point M(x, y)
- l’image vectorielle de zest le vecteur Ð→ u(x, y)
Opposé, conjugué d’un nombre complexe
+
+
+
+
M1(z)
M2(z)M3(−z)
M4(−z)Le point M2d’affixe zest le symétrique par rapport à (Ox)du point M1d’affixe z.
Le point M3d’affixe −zest le symétrique par rapport à Odu point M1d’affixe z.
Le point M4d’affixe −zest le symétrique par rapport à (Oy)du point M1d’affixe z.
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Addition dans C
Différence de complexes Somme de complexes
La différence de deux
complexes est l’affixe
d’un vecteur.
zÐ→
AB =zB−zA.
+
+
A(zA)
B(zB)
Ð→
AB
Ð→
AB
zB−zA
O
z+z′
z′
z
La somme de deux
complexes est l’affixe
de la somme de deux
vecteurs.
zÐ→
u+Ð→ u′=zÐ→
u+zÐ→
u′.
Ð→
u′
Ð→
u
Ð→
u+Ð→
u′
O
Multiplication d’un vecteur par un réel. Colinéarité de deux vecteurs
Ð→
u
λÐ→
u
z
λz
Si λest un nombre réel,
zλÐ→
u=λzÐ→
u
Milieux. Barycentres
• Soient Aet Bdeux points et Ile milieu du segment [AB].zI=zA+zB
2.
• Soit ABC un triangle et Gson centre de gravité. zG=zA+zB+zC
3.
Module d’un nombre complexe
+
M(z)
x
y
OM =z
+
+
A
B
AB =zB−zA
O
•xet ysont deux réels, M(x, y)et z=zM=x+iy.
z=OM =ÐÐ→ OM =x2+y2.
•A(xA, yA),B(xB, yB),zA=xA+iyAet zB=xB+iyB.
AB =Ð→ AB=zB−zA=(xB−xA)2+(yB−yA)2.
•A,B,Cet Dsont quatre points d’affixes respectives a,b,cet d(b≠a).
d−c
b−a=CD AB .
Forme trigonométrique
Argument d’un nombre complexe non nul
Ð→
u
Ð→
v
M(z)
arg(z)
O
• Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, Ð→ u , Ð→ v).
zest un complexe non nul d’image ponctuelle notée M.
On appelle argument de ztoute mesure en radian de l’angle
orienté Ð→ u ,
ÐÐ→
OM .
arg(z)=Ð→ u ,
ÐÐ→
OM  (2π).
• Si θ0est un argument de z, l’ensemble des arguments de zest
l’ensemble des réels de la forme θ0+2kπ,k∈Z.
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Détermination d’un argument. Si zest un complexe non nul, un argument de zest également un argument de
z
z. Le nombre complexe z zest de module 1et il existe un réel θtel que z z=cos(θ)+isin(θ).θest un argument de
z.
Exemple. arg(−√3+i)=arg −√3
2+1 2i=argcos 5π 6+isin 5π 6=5π 6(2π).
La notation eiθ
Le calcul (cos(θ)+isin(θ))(cos(θ′)+isin(θ′))=... =cos(θ+θ′)+isin(θ+θ′)invite à poser
pour tout réel θ,eiθ =cos(θ)+isin(θ).
Formulaire.
Pour tous réels θet θ′,
•eiθ =1.
• Re(eiθ )=cos(θ), Im(eiθ )=sin(θ). Pour tous nombres complexes non nuls zet z′,
•eiθ ×eiθ′=ei(θ+θ′). • arg(zz′)=arg(z)+arg(z′)(2π).
•1
eiθ =e−iθ =eiθ . • arg 1 z=arg(z)=−arg(z)(2π).
•eiθ
eiθ′=ei(θ−θ′). • arg z z′=arg(z)−arg(z′)(2π).
• Pour tout entier relatif n,eiθ n=einθ . • Pour tout entier relatif n, arg(zn)=narg(z)(2π).
Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes
Tout nombre complexe non nul zs’écrit sous la forme z=reiθ où rest un réel strictement positif et θest un réel.
Cette écriture est unique en ce sens que :
Pour tous réels strictement positifs ret r′et tous réels θet θ′,
reiθ =r′eiθ′
⇔r=r′et eiθ =eiθ′.
Si zest un complexe non nul, l’écriture z=reiθ s’appelle la forme trigonométrique (ou la forme exponentielle) de z.
Forme trigonométrique d’un complexe non nul z:z=reiθ où rest le module de zet θest un argument de z.
Le réel θlui n’est pas unique :
Pour tous réels strictement positifs ret r′et tous réels θet θ′,
reiθ =r′eiθ′
⇔r=r′et il existe un entier relatif ktel que θ′=θ+2kπ.
On trouve la forme trigonométrique de zen mettant le module de zen facteur. Par exemple
1−i=√21 √2−1 √2i=√2cos −π
4+isin −π 4=√2e−iπ/4.
Si ret θsont des réels quelconques et si z=reiθ , la forme trigonométrique de zn’est pas toujours reiθ .
– si r>0, la forme trigonométrique de zest reiθ ;
– si r<0, la forme trigonométrique de zest −rei(θ+π);
– si r=0,z=0et la forme trigonométrique de zn’existe pas.
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