Forme trigonométrique des nombres complexes
Argument d’un nombre complexe non nul
u
v
M(z)
arg(z)
O
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O,
u ,
v).
zest un complexe non nul d’image ponctuelle notée M.
On appelle argument de ztoute mesure en radian de l’angle
orienté
u ,
OM.
arg(z) =
u ,
OM().
Si θ0est un argument de z, l’ensemble des arguments de zest
l’ensemble des réels de la forme θ0+2kπ,kZ.
Détermination d’un argument. Si zest un complexe non nul, un argument de zest également un argument de z
|z|. Le
nombre complexe z
|z|est de module 1et il existe un réel θtel que z
|z|=cos(θ) + isin(θ).θest un argument de z.
Exemple. arg(−3+i) = arg 3
2+1
2i!=arg cos
6+isin
6=
6().
La notation eiθ
Le calcul (cos(θ) + isin(θ))(cos(θ) + isin(θ)) = ...=cos(θ+θ) + isin(θ+θ)invite à poser
pour tout réel θ,e=cos(θ) + isin(θ).
Formulaire.
Pour tous réels θet θ,
|e|=1.
Re(e) = cos(θ), Im(e) = sin(θ). Pour tous nombres complexes non nuls zet z,
e×e=ei(θ+θ).arg(zz) = arg(z) + arg(z) ().
1
e=e=eiθ.arg 1
z=arg(z) = −arg(z) ().
e
e=ei(θθ).arg z
z=arg(z) − arg(z) ().
Pour tout entier relatif n,en=einθ.Pour tout entier relatif n, arg(zn) = n.arg(z) ().
Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes
Tout nombre complexe non nul zs’écrit sous la forme z=rerest un réel strictement positif et θest un réel.
Cette écriture est unique en ce sens que :
Pour tous réels strictement positifs ret ret tous réels θet θ,
re=re
r=ret e=e.
Si zest un complexe non nul, l’écriture z=res’appelle la forme trigonométrique (ou la forme exponentielle) de z.
Forme trigonométrique d’un complexe non nul z:z=rerest le module de zet θest un argument de z.
Le réel θlui n’est pas unique :
Pour tous réels strictement positifs ret ret tous réels θet θ,
re=re
r=ret il existe un entier relatif ktel que θ=θ+2kπ.
Si ret θsont des réels quelconques et si z=re, la forme trigonométrique de zn’est pas toujours re .
si r > 0, la forme trigonométrique de zest re;
si r < 0, la forme trigonométrique de zest rei(θ+π);
si r=0,z=0et la forme trigonométrique de zn’existe pas.
c
Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr
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