Forme trigonométrique des nombres complexes Argument d’un nombre complexe non nul → → • Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, − u,− v ). z est un complexe non nul d’image ponctuelle notée M. M(z) b On appelle de z toute mesure en radian de l’angle argument −−→ → orienté − u , OM . −−→ → → − u , OM (2π). arg(z) arg(z) = − v • Si θ0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est → O − u l’ensemble des réels de la forme θ0 + 2kπ, k ∈ Z. z Détermination d’un argument. Si z est un complexe non nul, un argument de z est également un argument de . Le |z| z z est de module 1 et il existe un réel θ tel que = cos(θ) + i sin(θ). θ est un argument de z. nombre complexe |z| |z| ! √ √ 3 1 5π 5π 5π Exemple. arg(− 3 + i) = arg − + i sin = + i = arg cos (2π). 2 2 6 6 6 iθ La notation e Le calcul (cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ ′ ) + i sin(θ ′ )) = . . . = cos(θ + θ ′ ) + i sin(θ + θ ′ ) invite à poser pour tout réel θ, eiθ = cos(θ) + i sin(θ). Formulaire. Pour tous réels θ et θ ′ , • |eiθ | = 1. • Re(eiθ ) = cos(θ), Im(eiθ ) = sin(θ). ′ ′ • eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) . 1 • iθ = e−iθ = eiθ . e eiθ ′ • iθ ′ = ei(θ−θ ) . e n • Pour tout entier relatif n, eiθ = einθ . Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ , ′ • arg(zz ) = arg(z) + arg(z ′ ) (2π). 1 • arg = arg(z) = −arg(z) (2π). z z • arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) (2π). z • Pour tout entier relatif n, arg(zn ) = n.arg(z) (2π). Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes Tout nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme z = reiθ où r est un réel strictement positif et θ est un réel. Cette écriture est unique en ce sens que : Pour tous réels strictement positifs r et r ′ et tous réels θ et θ ′ , ′ ′ reiθ = r ′ eiθ ⇔ r = r ′ et eiθ = eiθ . Si z est un complexe non nul, l’écriture z = reiθ s’appelle la forme trigonométrique (ou la forme exponentielle) de z. Forme trigonométrique d’un complexe non nul z : z = reiθ où r est le module de z et θ est un argument de z. Le réel θ lui n’est pas unique : iθ re Pour tous réels strictement positifs r et r ′ et tous réels θ et θ ′ , ′ = r ′ eiθ ⇔ r = r ′ et il existe un entier relatif k tel que θ ′ = θ + 2kπ. Si r et θ sont des réels quelconques et si z = reiθ , la forme trigonométrique de z n’est pas toujours reiθ . – si r > 0, la forme trigonométrique de z est reiθ ; – si r < 0, la forme trigonométrique de z est −rei(θ+π) ; – si r = 0, z = 0 et la forme trigonométrique de z n’existe pas. c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr