Forme trigonométrique des nombres complexes

Forme trigonométrique des nombres complexes
Argument d’un nombre complexe non nul
→
→
• Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, −
u,−
v ).
z est un complexe non nul d’image ponctuelle notée M.
M(z)
b
On appelle
de z toute mesure en radian de l’angle
argument
−−→
→
orienté −
u , OM . −−→
→
→
−
u , OM (2π).
arg(z)
arg(z) = −
v
• Si θ0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est
→
O −
u
l’ensemble des réels de la forme θ0 + 2kπ, k ∈ Z.
z
Détermination d’un argument. Si z est un complexe non nul, un argument de z est également un argument de . Le
|z|
z
z
est de module 1 et il existe un réel θ tel que
= cos(θ) + i sin(θ). θ est un argument de z.
nombre complexe
|z|
|z|
!
√
√
3 1
5π
5π
5π
Exemple. arg(− 3 + i) = arg −
+ i sin
=
+ i = arg cos
(2π).
2
2
6
6
6
iθ
La notation e
Le calcul (cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ ′ ) + i sin(θ ′ )) = . . . = cos(θ + θ ′ ) + i sin(θ + θ ′ ) invite à poser
pour tout réel θ, eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
Formulaire.
Pour tous réels θ et θ ′ ,
• |eiθ | = 1.
• Re(eiθ ) = cos(θ), Im(eiθ ) = sin(θ).
′
′
• eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) .
1
• iθ = e−iθ = eiθ .
e
eiθ
′
• iθ ′ = ei(θ−θ ) .
e
n
• Pour tout entier relatif n, eiθ = einθ .
Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ ,
′
• arg(zz
) = arg(z) + arg(z ′ ) (2π).
1
• arg
= arg(z) = −arg(z) (2π).
z
z
• arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) (2π).
z
• Pour tout entier relatif n, arg(zn ) = n.arg(z) (2π).
Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes
Tout nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme z = reiθ où r est un réel strictement positif et θ est un réel.
Cette écriture est unique en ce sens que :
Pour tous réels strictement positifs r et r ′ et tous réels θ et θ ′ ,
′
′
reiθ = r ′ eiθ ⇔ r = r ′ et eiθ = eiθ .
Si z est un complexe non nul, l’écriture z = reiθ s’appelle la forme trigonométrique (ou la forme exponentielle) de z.
Forme trigonométrique d’un complexe non nul z : z = reiθ où r est le module de z et θ est un argument de z.
Le réel θ lui n’est pas unique :
iθ
re
Pour tous réels strictement positifs r et r ′ et tous réels θ et θ ′ ,
′
= r ′ eiθ ⇔ r = r ′ et il existe un entier relatif k tel que θ ′ = θ + 2kπ.
 Si r et θ sont des réels quelconques et si z = reiθ , la forme trigonométrique de z n’est pas toujours reiθ .
– si r > 0, la forme trigonométrique de z est reiθ ;
– si r < 0, la forme trigonométrique de z est −rei(θ+π) ;
– si r = 0, z = 0 et la forme trigonométrique de z n’existe pas.
c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.
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