Forme trigonométrique des nombres complexes

Forme trigonométrique des nombres complexes
Argument d’un nombre complexe non nul
−→
u
−→
v
M(z)
arg(z)
O
•Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, −→ u , −→ v).
zest un complexe non nul d’image ponctuelle notée M.
On appelle argument de ztoute mesure en radian de l’angle
orienté −→
u , −−→ OM.
arg(z) = −→
u , −−→ OM(2π).
•Si θ0est un argument de z, l’ensemble des arguments de zest
l’ensemble des réels de la forme θ0+2kπ,k∈Z.
Détermination d’un argument. Si zest un complexe non nul, un argument de zest également un argument de z
|z|. Le
nombre complexe z
|z|est de module 1et il existe un réel θtel que z |z|=cos(θ) + isin(θ).θest un argument de z.
Exemple. arg(−√3+i) = arg −√3
2+1 2i!=arg cos 5π 6+isin 5π 6=5π 6(2π).
La notation eiθ
Le calcul (cos(θ) + isin(θ))(cos(θ′) + isin(θ′)) = ...=cos(θ+θ′) + isin(θ+θ′)invite à poser
pour tout réel θ,eiθ =cos(θ) + isin(θ).
Formulaire.
Pour tous réels θet θ′,
•|eiθ|=1.
•Re(eiθ) = cos(θ), Im(eiθ) = sin(θ). Pour tous nombres complexes non nuls zet z′,
•eiθ ×eiθ ′=ei(θ+θ′).•arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) (2π).
•1
eiθ =e−iθ =eiθ.•arg 1 z=arg(z) = −arg(z) (2π).
•eiθ
eiθ ′=ei(θ−θ′).•arg z z′=arg(z) − arg(z′) (2π).
•Pour tout entier relatif n,eiθn=einθ.•Pour tout entier relatif n, arg(zn) = n.arg(z) (2π).
Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes
Tout nombre complexe non nul zs’écrit sous la forme z=reiθ où rest un réel strictement positif et θest un réel.
Cette écriture est unique en ce sens que :
Pour tous réels strictement positifs ret r′et tous réels θet θ′,
reiθ =r′eiθ ′ ⇔r=r′et eiθ =eiθ ′.
Si zest un complexe non nul, l’écriture z=reiθ s’appelle la forme trigonométrique (ou la forme exponentielle) de z.
Forme trigonométrique d’un complexe non nul z:z=reiθ où rest le module de zet θest un argument de z.
Le réel θlui n’est pas unique :
Pour tous réels strictement positifs ret r′et tous réels θet θ′,
reiθ =r′eiθ ′ ⇔r=r′et il existe un entier relatif ktel que θ′=θ+2kπ.
Si ret θsont des réels quelconques et si z=reiθ, la forme trigonométrique de zn’est pas toujours reiθ .
– si r > 0, la forme trigonométrique de zest reiθ ;
– si r < 0, la forme trigonométrique de zest −rei(θ+π);
– si r=0,z=0et la forme trigonométrique de zn’existe pas.
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Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr