Université Blaise Pascal : L1S1, mathématiques, module A ou B

Département de mathématiques et informatique
L1S1, module A ou B Maths
Chapitre 1
Nombres complexes

p. 2
ÔRemarque importante.
Ce cours n’est pas indépendant du
cours de Mathématiques pour tous.
Ce document est une version remaniée d’un polycopié écrit par Emmanuel Royer
afin de s’adapter aux modifications des programmes (en vigueur à partir de l’année
2013-2014).

Table des matières p. 3
Table des matières
1 Entiers, rationnels et réels 5
1.1 Rappelsgénéraux ............................... 5
1.2 Les opérations dans les ensembles Qet R................. 6
2 Les nombres complexes 8
2.1 Définitionetcalculs.............................. 8
2.2 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Puissance ned’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Trigonométrie ................................. 22
2.5.1 Les fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Valeurs en des angles de références du premier quadrant . . . . 22
2.5.3 Valeurs en des angles des autres quadrants . . . . . . . . . . . . 23
2.5.4 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.5 Résumé des formules à savoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Argument d’un nombre complexe de module 1 . . . . . . . . . . 27
2.6.2 Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Exponentielle et représentation exponentielle d’un nombre complexe . 31
2.8 Racinesdel’unité ............................... 32
2.9 Trinôme du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . 34
2.9.1 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9.2 Trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 Nombres complexes et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10.1 Calcul de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x) . . . . 38
2.10.2 Linéarisation des formules trigonométriques . . . . . . . . . . . 39
3 Exercices 42
A Rappel : lettres grecques utilisées en mathématiques 47
B Complément : démonstrations des énoncés trigonométriques 48
B.1 Valeurs en des angles de références du premier quadrant . . . . . . . . 48
B.2 Extensions aux autres quadrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B.2.1 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C Complément : calcul de cos(nx)et sin(nx)en fonction de cos(x)et sin(x)53
D Complément : linéarisation des formules trigonométriques 55
D.1 Linéarisationdecos.............................. 55
D.1.1 Le cas des puissances paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
D.1.2 Le cas des puissances impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

p. 4 Table des matières
D.2 Linéarisationdesin.............................. 56
D.3 Linéarisation de produits de sin et cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1 Entiers, rationnels et réels p. 5
1Entiers, rationnels et réels
1.1) Rappels généraux
L’ensemble Nest l’ensemble des entiers naturels
N={0,1,2,3,...},
puis Zest l’ensemble des entiers relatifs
Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
et Qest l’ensemble des nombres rationnels
Q=a
b:a∈Z,b ∈Z\{0}.
Enfin, R est l’ensemble des nombres réels. Tout réel peut s’écrire à l’aide d’un entier
relatif et d’une infinité de chiffres décimaux.
Tous ces ensembles sont munis d’une addition et d’une multiplication. La soustrac-
tion est définie dans Z , Q et R mais pas dans N : le résultat de la soustraction 2−3 n’est
pas dans N alors que 2 et 3 sont dans N . La division (par un nombre nécessairement
non nul) est définie dans Q et R mais pas dans Z (et a fortiori pas dans N ) : le résultat
de la division de −2 par −7 n’est pas dans Zalors que −2 et −7 sont dans Z.
Un principe fondamental dans l’ensemble Zest le principe de récurrence.
Principe de récurrence 1–Soit P(n) un énoncé dépendant d’un paramètre entier relatif
n . S’il existe n0 tel que P(n0) est vrai et si, pour tout n≥n0 la supposition que l’énoncé
P(n) est vrai implique que l’énoncé P(n+1) est vrai alors, l’énoncé P(n) est vrai pour tout
n≥n0.
Remarque 1– Il faut bien comprendre la phrase « la supposition que l’énoncé P(n) est
vrai implique que l’énoncé P(n+ 1) est vrai ». Elle ne dit pas qu’on suppose P(n) vrai
pour tout n . Elle dit qu’on suppose vraie l’implication « si P(n) est vraie alors P(n+ 1)
est vraie ». Ayez en tête le fait que l’implication « si vous travaillez bien vous aurez de
bons résultats » est vraie mais qu’elle ne dit pas que vous travaillerez bien.
Exemple 2–Montrons par récurrence que
1 + 2 + ···+n
| {z }
somme de tous les
entiers de 1 à n
=n(n+ 1)
2
pour tout n≥1 . On note P(n) l’égalité à démontrer. L’énoncé P(1) est vrai car la somme
de tous les entiers de 1 à 1 est 1 et
1(1+1)
2= 1
. Soit alors n≥1 . Supposons vrai l’énoncé