Complexes
Table des matières
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5$# ' 6
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5+*'' 1
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Complexe, mais, pas compliqué...
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!## ##"B
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CB
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D20E"FGF6FE9E#E"'+D64D6
H& "5A"!'"A"'#';' I(#) "'J?
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## '# '" @
' "## ' " ! # "#' K'×
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'
G'##ℕ#""' ? . '# '#n !#"n' 'Bn@
' # !ℤ" '##'&?ℕ⊂ℤ@
"A##' $xB*C6 "' " ℤ
G'##ℤ∗#'' ? . '##'&n !# -#"n'
'
n
@' # !ℚ"#' ?ℤ⊂ℚ@
' ! #'"#"#"' '
x$
C$ ## !ℝ"
# ' !##?ℚ⊂ℝ@
#' #'
x$
CB '"' " ℝ ! ℂ "
!# ' ''
'A !# '#''0 '#- '#''0 ';'-" '0
)A!# G)'#
'#' '# '
# ' '"&&# '�' 'L'&#)!#' 'L'&#'#) '#' 'L'
&# '
I- L'ensemble ℂ des nombres complexes.
I-1- Le plan complexe
" #A##'; #"#'
OM
u
v
(On ne prend pas les
vecteurs
i
et
j
, car, les lettres i et j sont réservées aux nombres complexes)
I-2- Nombre complexe
I-2-1 Définition
'
OM
u
v
#A##'; #"#'
( 'A?M6@ !#
( 'B?6M@ !#
( 'M?aMb@ !#zCaKb.
I-2-2- Affixe- image
H'' !#z' ' 'M"
z'&&"M.
? '- '
zA
&&"A@
z'&&"
OM
M' ')"z
OM
'-'#)"z
#' 'P'Q " &&"
PQ
'
';" ';!'""#'' "#-#
$D20E"FGF6FE9E#E"'+D64D6
'M#&&zCaKb
b
a
0 1
1
x
y
M
A
B
z
PQ
C
zQ
B
zP
?
PQ
C
OQ
B
OP
@
I-2-3- Partie réelle- partie imaginaire
9' !#'##zCaKb7 a et b sont des réels.
a'la partie réelle"z 'r?z@
b'la partie imaginaire"z 'i?z@
aKb 'l'écriture algébrique" !#z
#aC6 imaginaire pur0zCB1zC$zC
–
*
zC
)") ## ' '"?y'y@ ") ##
#bC6 !##0zCB6zC$zC
6
zCB*
)"# ' '"?x'x@ "#
'ℂ !" !#
' 0ℝ⊂ℂ
I-2-4 Opposé- Conjugué.
zCaKbù a et b sont des réels.
Construction0
# '
M
"&&BaBb
M$
"&& Bb'
M*
"&&BaKb
Définitions:
'M '"&&z
'
M
G'#"M###'.O#&&Bz
?opposé"z@
'
M$
G'#" M ###'. (O,
u
) #
&&conjugué"z 'z.
" 0zCaKb #zCaBb
Un complexe et son conjugué ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées.
II- Opérations dans ℂ
ℂ' ' ' "ℝ#A)" '"ℝ' ".ℂ #N '
$
#B
Il n'est pas nécessaire de retenir les formules,
"comprendre -' #'#sous la forme a + ib où a et b sont des réels.
';" ';!'""#'' "#-#
*D20E"FGF6FE9E#E"'+D64D6
axe des imaginaires purs
axe des réels
2 3-1-2
2
-1
-2
0 1
1
x
y
M
M
1
M
2
M
3
Propriété:
% !# ')' ' 'O#'#'O#'
) #
% '"#)#;zCaKb'z'Ca'Kb'7aa'bb' '"#
II- 1 Somme
zz '
C
aa '
bb '
M"&&z'M'"&&z'# 'M""&&
zz'
'
''
OM ' '
C
OM
K
OM '
OMM ' ' M '
' #)#?'# 'OM'
M' ') @
?5# '##'' " )#@
II-2 Produit
zz '
C
aa ' – bb ' ab 'a ' b
Ne pas apprendre par coeur
Exemple: ?$B1@?*K$@C<K+B1B6PC<B
'##'' )'# " #"' # ' '" "
#'#" #; #)#;?5#5+*@
II-3 Inverse et quotient
z≠6'."#0?aMb@≠?6M6@
z
C
aib
C
a – ib
a$b$
C
a
a$b$
– b
a$b$
Ne pas apprendre par
coeur, mais, comprendre que
aiba – ib
=
a2b2
est un réel non nul
z '
z
=
z '×
z
=#'"" #' '&#"#'#)!#"
Exemples et cas particuliers à repérer.
*–$
+–
C
*–$+
+–+
C
$* –3$
<
C
+
2
B
1
2
*
CB
+
C
1
C
) # '0
+
C
+n
C
n
C
+
C
+ ×
C
+ $
C
+ ×$
CB
+ *
C
+ $×
CB
CB
z
C$B
z$
CB*K+
zz$
CBK*
z×z$
CB$K
iz
CK$?###'"'#"#'@
z×
z$
C
$––*–+ =–6
B1
z
z$
C
$–
–*+
C
$––*–+
$1
C
–6 –1
$1
C
–$
1
–
1
II-4 Opérations et conjugués.
" '#' '"' ';!#
zz '
C
z
K
z '
z×z '
C
z
×
z '
';" ';!'""#'' "#-#
+D20E"FGF6FE9E#E"'+D64D6
2-1-2
2
3
4
5
6
-1
0 1
1
x
y
M
M'
O
M
"
z
z '
C
z
z'
z×
z
C
a$b$
QK
z
C$aC$r?z@
QB
z
C$bC$i?z@
III- Écriture trigonométrique d'un nombre complexe: Module et argument
'##'#A##'; #"#'
OM
u
v
;'#.&#";
# '#) '# # " ! "#' ' ) " #&# "- ' O'# ##
#" ' #) '#) '#
-#" #-"- #-" '
III-1- Module d'un nombre complexe
'z !#&&" 'M
""z '
∣
z
∣
' )#OM?
∣
∣
OM
∣
∣
(- '' "#)#;
∣
z
∣
C
a$b$
C
z
z
"#A';#A"G';)#
Conséquence0'r #'#' ''& !" 'M"&&z'
∣
z
∣
Cr'
#" '#O'"#G r
III-2- Argument d'un nombre complexe
'z !#non nul &&" 'M?6'# )# '"-'# '
"& # -'#' @
> #) '"z '
#)z
' #" )# '?
u
OM
@
Rappel0# '"& "$
Conséquences0
@'
# !" 'M"&&z'#)?z@CR$S'""#'"#) O
-O
' ' -'#"#'#" 0?
u
@CR$S
&&'""'# # 'A'?
u
OA
@CR$SCSOA@
!@'
# !" 'M"&&z'#)?z@CRS'"#' '#O-
O
' ' -'#"#'#" 0?
u
@CRS
&&'""'# # 'A'?
u
OA
@CRSC?OA@ETOU
III-3- Écriture trigonométrique d'un nombre complexe
' 'M"&& zCaKb
#" #"M '
[
∣
z
∣
,]
' 0zC
∣
z
∣
i
Résumé:
z≠6zCaKbC
ri
- r > 0 M)"z
#" #'
MaMb
#" #"M
[r , ]
∣
z
∣
CrC
a$b$
#)z
CKk$7k∈ℤ
C
a
r
' C
b
r
';" ';!'""#'' "#-#
1D20E"FGF6FE9E#E"'+D64D6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
/
17
100%
