Exercice 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes

Exercice 1
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes :
z1=cos θ+isin θ
cos θ−isin θet z2= (3 + i)4
Exercice 2
1. zet z0sont deux complexes, démontrer que :
|z+z0|2+|z−z0|2= 2(|z|2+|z0|2).
2. Interpréter géométriquement cette égalité en admettant (provisoirement. . . )
que si M(z) et M’(z0) alors MM’2=|z−z0|2.
Exercice 3
On pose z1=√6−i√2
2et z2= 1 −i.
1. Ecrire z1,z2et z1
z2
sous forme trigonométrique.
2. En déduire cos π
12 et sin π 12.
3. Résoudre dans [−π, +π[l’équation :
(√6 + √2) cos x+ (√6−√2) sin x= 2.
(On rappelle que cos acos b+ sin asin b= cos(a−b))
Exercice 4
nest un entier naturel, on pose z= (√3 + i)n.
Déterminer un argument de zet en déduire l’ensemble E des valeurs de n
pour lesquelles zest un réel strictement positif.
Exercice 5
1. Résoudre l’équation z2−2z+ 2 = 0 dans C.
Préciser le module et un argument de chacune des solutions.
2. En déduire les solutions dans Cde l’équation :
(−iz + 3i+ 3)2−2(−iz + 3i+ 3) + 2 = 0.
1G.Gremillot

Exercice 6
A tout complexe z=x+iy,z6=−1, on associe le complexe Z=2iz −i
z+ 1 .
1. Calculer ZZ puis |Z|en fonction de xet y.
2. Déterminer l’ensemble E1des points M d’affixe ztels que |Z|= 1.
3. Déterminer l’ensemble E2des points M d’affixe ztels que Zsoit imaginaire
pur.
Exercice 7
Pour tout complexe z6= 1, on pose z0=z+ 1
z−1.
1. Démontrer que |z|= 1 ⇔z0imaginaire pur.
2. En déduire que, dans le plan complexe, le lieu géométrique des points M’
d’affixe z0lorsque le point M d’affixe zdécrit le cercle C de centre O et de
rayon 1 privé du point A d’affixe 1.
2G.Gremillot