Espaces euclidiens, premi`ere partie

Programme des colles de mathématiques.
Semaine 14 : du lundi 16 janvier au vendredi 20.
Espaces euclidiens, première partie
1
1.1
Produits scalaires
Définition d’un produit scalaire
Définition. Soit ϕ une forme bilinéaire sur E.
ϕ est une forme bilinéaire définie si et seulement si, pour tout x ∈ E \ {0}, ϕ(x, x) 6= 0.
ϕ est une forme bilinéaire positive si et seulement si, pour tout x ∈ E, ϕ(x, x) ≥ 0.
Définition. Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
Un espace préhilbertien réel est un couple (E, ϕ), où E est un R-espace vectoriel et où ϕ est un
produit scalaire sur E.
1.2
Exemples
ϕ:
Propriété. Si e = (ei )i∈I est une base de E, alors
X
xi ei ,
i∈I
E2
X
−→
!
yi ei
i∈I
7−→
R
X
xi yi
est un
i∈I
produit scalaire sur E.
ϕ:
Définition.
Rn × Rn
−→
((α1 , . . . , αn ), (β1 , . . . , βn ))
7−→
R
n
X
α i βi
i=1
Rn .
Z
Propriété. Pour tout f, g ∈ C([a, b], R), on pose ϕ(f, g) =
b
f (t)g(t)dt.
a
ϕ est un produit scalaire sur C([a, b], R).
1.3
est le produit scalaire canonique de
Les espaces lp (I), où I est un ensemble dénombrable
Notation.
Pour p ∈ R∗+ , lp (I) est l’ensemble des familles (ui )i∈I de réels telles que la famille (|ui |p )i∈I est
sommable.
l∞ (I) est l’ensemble des familles (ui )i∈I bornées de réels.
Propriété. l1 (I), l2 (I) et l∞ (I) sont des sous-espaces vectoriels de RI .
De plus si (ai ) et (bi ) sont dans l2 (I), alors (ai bi ) est un élément de l1 (I).
X
Propriété. Pour tout (ui ), (vi ) ∈ (l2 (I), on pose ((ui )|(vi )) =
u i vi .
i∈I
l2 (I) muni de (.|.) est un espace préhilbertien.
1
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1.4
Identités remarquables
Définition. Pour tout x ∈ E, la norme de x est kxk =
p
(x|x).
2
Formule. Pour tout ((x, y), α) ∈ E × R, kαxk = |α|kxk, kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2(x|y) (identité
de polarisation), kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2(x|y), kx + yk2 − kx − yk2 = 4(x|y),
et kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (formule du parallélogramme).
Théorème de Pythagore. (x|y) = 0 ⇐⇒ kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
1.5
Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
Théorème. Inégalité de Cauchy-Schwarz : ∀(x, y) ∈ E 2 |(x|y)| ≤ kxkkyk. De plus, il y a
égalité dans cette inégalité si et seulement si x et y sont colinéaires.
Théorème. Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire.
∀(x, y) ∈ E 2 kx + yk ≤ kxk + kyk. De plus, il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si x et y
sont positivement colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si y = 0 ou s’il existe k ∈ R+ tel que x = ky.
2
Orthogonalité
Notation. E désigne toujours un espace préhilbertien. Son produit scalaire sera noté < ., . >.
2.1
Orthogonalité en dimension quelconque
Définition. Soit (x, y) ∈ E 2 . x et y sont orthogonaux si et seulement si < x, y >= 0.
Définition. Soit A une partie de E. L’orthogonal de A est A⊥ = {x ∈ E/∀y ∈ A
sous-espace vectoriel de E.
x⊥y}. C’est un
Définition. Si A et B sont deux parties de E, A⊥B ⇐⇒ [∀(a, b) ∈ A × B, a⊥b].
Alors A⊥B ⇐⇒ A ⊂ B ⊥ ⇐⇒ B ⊂ A⊥ .
Propriété. Soient A et B deux parties de E. Alors
A ⊆ B =⇒ B ⊥ ⊆ A⊥ ,
(A ∪ B)⊥ = A⊥ ∩ B ⊥ ,
A⊥ = (V ect(A))⊥ ,
et A ⊆ (A⊥ )⊥ .
Propriété. {0}⊥ = E et E ⊥ = {0}.
Définition. Soit I un ensemble quelconque et (xi )i∈I une famille de vecteurs de E.
Elle est dite orthogonale si et seulement si ∀(i, j) ∈ I 2 (i 6= j =⇒ xi ⊥xj ).
Elle est dite orthonormale si et seulement si ∀(i, j) ∈ I 2 < xi , xj >= δi,j .
Propriété. Une famille orthogonale sans vecteur nul est libre.
En particulier, une famille orthonormale est toujours libre.
Propriété.
E admet une base orthonormée notée (ei )i∈I .
X Supposons queX
Si x =
αi ei ∈ E et y =
βi ei ∈ E, alors
i∈I
i∈I
< x, y >=
kxk2 =
x=
X
αi βi ,
Xi∈I
αi2 ,
i∈I
X
< ei , x > ei .
i∈I
c
Eric
Merle
2
MP Fénelon
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Propriété. Soit (Ei )1≤i≤n n sous-espaces vectoriels de E deux à deux orthogonaux. Alors ils forment
⊥
⊥
⊥
M
M
M
une somme directe que l’on note E1
···
En =
Ei .
1≤i≤n
⊥
Définition. On dit que G est un supplémentaire orthogonal de F si et seulement si E = F ⊕ G.
Propriété. Un sous-espace vectoriel F de E admet au plus un supplémentaire orthogonal. C’est F ⊥ .
2.2
En dimension finie
Propriété. Si E est de dimension finie, l’application
E −→
x 7−→
L(E, R)
est un isomorphisme.
< x, . >
Théorème. On ne suppose pas que E est de dimension finie.
Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, alors F ⊥ est l’unique supplémentaire
orthogonal de F . De plus F = (F ⊥ )⊥ .
Définition. On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien de dimension finie.
Propriété.
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E supposé euclidien, alors (F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .
Propriété. Si F est un sous-espace vectoriel de E supposé euclidien, alors dim(F ⊥ ) = dimE −dimF .
Propriété. Soit e = (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de E. Soient x et y des vecteurs de E dont
les coordonnées dans la base e sont données sous forme de vecteurs colonnes notés X et Y . Alors
< x, y >=t Y X =t XY.
Définition. (hors programme) La matrice du produit scalaire dans la base e est égale à :
mat(< ., . >, e) = (< ei , ej >) 1≤i≤n ∈ Mn (R).
1≤j≤n
Formule. (hors programme) Soit e une base quelconque de E. On note Ω la matrice de < ., . > dans
la base e. Soient x et y deux vecteurs de E, dont les coordonnées dans e sont
X données sous la forme
t
t t
n
des vecteurs colonnes X et Y de R . Alors < x, y >= XΩY = Y ΩX =
xi yj ωi,j .
1≤i≤n
1≤j≤n
2.3
Distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel
L ⊥
Définition. Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que F
F = E. On appelle projection
orthogonale sur F , la projection sur F parallèlement à F ⊥ . Dans ce chapitre, elle est notée pF .
Formule. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. On suppose que F est muni d’une
n
X
base orthonormée e = (e1 , . . . , en ). Alors, pour tout x ∈ E, pF (x) =
< ei , x > ei .
i=1
Définition. Si a, b ∈ E, on appelle distance de a à b la quantité d(a, b) = ka − bk.
Définition. Si a ∈ E et si B est une partie non vide de E, on appelle distance de a à B la quantité
d(a, B) = inf {d(a, b)/b ∈ B}.
Théorème de la projection orthogonale : soient a ∈ E et F un sous-espace vectoriel de
dimension finie de E.
Alors, d(a, F ) = d(a, pF (a)) et pour tout y ∈ F \ {pF (a)}, d(a, y) > d(a, F ).
De plus, kak2 = kpF (a)k2 + d(a, F )2 et, si (e1 , . . . , en ) est une base orthonormée de F , on dispose
n
X
2
de l’inégalité de Bessel : kak ≥
< ei , a >2 .
i=1
Propriété. On suppose que E est de dimension finie n ≥ 1. Soit H un hyperplan affine de E, passant
par un point A et dirigé par l’hyperplan vectoriel H :
c
Eric
Merle
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−−→
−
|<→
n , AM > |
−
Si →
n est un vecteur non nul de H ⊥ , pour tout M ∈ E, d(M, H) =
.
−
k→
nk
n
X
Si H a pour équation cartésienne
αi xi = c dans un repère orthonormé,
|
pour tout M ∈ E, d(M, H) =
n
X
i=1
αi xi − c|
i=1
v
uX
u n 2
t
αi
, où (x1 , . . . , xn ) sont les coordonnées de M dans le repère.
i=1
2.4
Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Théorème. Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soient n ∈ N∗ et (xk )k∈{1,...,n} une famille libre
de vecteurs de E. Alors il existe une unique famille orthonormale de vecteurs (ek )k∈{1,...,n} telle
que, pour tout k ∈ {1, . . . , n},
i) ek ∈ V ect(x1 , . . . , xk )
ii) et < ek , xk >∈ R∗+ .
De plus, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, ek est positivement colinéaire à la projection orthogonale de xk sur
l’orthogonal de V ect(x1 , . . . , xk−1 ). C’est-à-dire que la famille (ek )k∈{1,...,n} est récursivement définie
par les relations suivantes :
k−1
ek =
X
Ek
, où Ek = xk −
< ei , xk > ei .
kEk k
i=1
Ce théorème est aussi valable pour une famille libre dénombrable (xk )k∈N∗ de vecteurs de E.
Propriété. Interprétation matricielle du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Soient n ∈ N∗ et x = (xk )k∈{1,...,n} une base de E.
Alors il existe une unique base orthonormée e = (e1 , . . . , en ) de E telle que la matrice de passage de
e vers x est triangulaire supérieure, ses coefficients diagonaux étant de plus strictement positifs.
Propriété. Supposons que E est de dimension finie.
E admet au moins une base orthonormée.
Toute famille orthonormale de E peut être complétée en une base orthonormée.
Corollaire. Hors programme. Soit u ∈ L(E) tel que χu est scindé. Alors u est trigonalisable en
base orthonormale.
c
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Merle
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