Espaces euclidiens, premi`ere partie

Programme des colles de math´ematiques.
Semaine 14 : du lundi 16 janvier au vendredi 20.
Espaces euclidiens, premi`ere partie
1 Produits scalaires
1.1 D´efinition d’un produit scalaire
D´efinition. Soit ϕune forme bilin´eaire sur E.
ϕest une forme bilin´eaire d´efinie si et seulement si, pour tout x∈E\ {0},ϕ(x, x)6= 0.
ϕest une forme bilin´eaire positive si et seulement si, pour tout x∈E,ϕ(x, x)≥0.
D´efinition. Un produit scalaire est une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive.
Un espace pr´ehilbertien r´eel est un couple (E, ϕ), o`u Eest un R-espace vectoriel et o`u ϕest un
produit scalaire sur E.
1.2 Exemples
Propri´et´e. Si e= (ei)i∈Iest une base de E, alors
ϕ:E2−→ R
X
i∈I
xiei,X
i∈I
yiei!7−→ X
i∈I
xiyiest un
produit scalaire sur E.
D´efinition.
ϕ:Rn×Rn−→ R
((α1, . . . , αn),(β1, . . . , βn)) 7−→
n
X
i=1
αiβiest le produit scalaire canonique de
Rn.
Propri´et´e. Pour tout f, g ∈ C([a, b],R), on pose ϕ(f, g) = Zb
a
f(t)g(t)dt.
ϕest un produit scalaire sur C([a, b],R).
1.3 Les espaces lp(I), o`u Iest un ensemble d´enombrable
Notation.
Pour p∈R∗
+,lp(I) est l’ensemble des familles (ui)i∈Ide r´eels telles que la famille (|ui|p)i∈Iest
sommable.
l∞(I) est l’ensemble des familles (ui)i∈Iborn´ees de r´eels.
Propri´et´e. l1(I), l2(I) et l∞(I) sont des sous-espaces vectoriels de RI.
De plus si (ai) et (bi) sont dans l2(I), alors (aibi) est un ´el´ement de l1(I).
Propri´et´e. Pour tout (ui),(vi)∈(l2(I), on pose ((ui)|(vi)) = X
i∈I
uivi.
l2(I) muni de (.|.) est un espace pr´ehilbertien.
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1.4 Identit´es remarquables
D´efinition. Pour tout x∈E, la norme de xest kxk=p(x|x).
Formule. Pour tout ((x, y), α)∈E2×R,kαxk=|α|kxk,kx+yk2=kxk2+kyk2+ 2(x|y) (identit´e
de polarisation), kx−yk2=kxk2+kyk2−2(x|y), kx+yk2− kx−yk2= 4(x|y),
et kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2) (formule du parall´elogramme).
Th´eor`eme de Pythagore. (x|y)=0⇐⇒ kx+yk2=kxk2+kyk2.
1.5 In´egalit´es de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
Th´eor`eme. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz : ∀(x, y)∈E2|(x|y)| ≤ kxkkyk.De plus, il y a
´egalit´e dans cette in´egalit´e si et seulement si xet ysont colin´eaires.
Th´eor`eme. In´egalit´e de Minkowski, ou in´egalit´e triangulaire.
∀(x, y)∈E2kx+yk ≤ kxk+kyk.De plus, il y a ´egalit´e dans cette in´egalit´e si et seulement si xet y
sont positivement colin´eaires, c’est-`a-dire si et seulement si y= 0 ou s’il existe k∈R+tel que x=ky.
2 Orthogonalit´e
Notation. Ed´esigne toujours un espace pr´ehilbertien. Son produit scalaire sera not´e < ., . >.
2.1 Orthogonalit´e en dimension quelconque
D´efinition. Soit (x, y)∈E2.xet ysont orthogonaux si et seulement si < x, y >= 0.
D´efinition. Soit Aune partie de E. L’orthogonal de Aest A⊥={x∈E/∀y∈A x⊥y}. C’est un
sous-espace vectoriel de E.
D´efinition. Si Aet Bsont deux parties de E,A⊥B⇐⇒ [∀(a, b)∈A×B, a⊥b].
Alors A⊥B⇐⇒ A⊂B⊥⇐⇒ B⊂A⊥.
Propri´et´e. Soient Aet Bdeux parties de E. Alors
A⊆B=⇒B⊥⊆A⊥,
(A∪B)⊥=A⊥∩B⊥,
A⊥= (V ect(A))⊥,
et A⊆(A⊥)⊥.
Propri´et´e. {0}⊥=Eet E⊥={0}.
D´efinition. Soit Iun ensemble quelconque et (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E.
Elle est dite orthogonale si et seulement si ∀(i, j)∈I2(i6=j=⇒xi⊥xj).
Elle est dite orthonormale si et seulement si ∀(i, j)∈I2< xi, xj>=δi,j .
Propri´et´e. Une famille orthogonale sans vecteur nul est libre.
En particulier, une famille orthonormale est toujours libre.
Propri´et´e. Supposons que Eadmet une base orthonorm´ee not´ee (ei)i∈I.
Si x=X
i∈I
αiei∈Eet y=X
i∈I
βiei∈E, alors
< x, y >=X
i∈I
αiβi,
 kxk2=X
i∈I
α2
i,
x=X
i∈I
< ei, x > ei.
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Propri´et´e. Soit (Ei)1≤i≤nn sous-espaces vectoriels de Edeux `a deux orthogonaux. Alors ils forment
une somme directe que l’on note E1
⊥
M· · ·
⊥
MEn=
⊥
M
1≤i≤n
Ei.
D´efinition. On dit que Gest un suppl´ementaire orthogonal de Fsi et seulement si E=F⊥ ⊕G.
Propri´et´e. Un sous-espace vectoriel Fde Eadmet au plus un suppl´ementaire orthogonal. C’est F⊥.
2.2 En dimension finie
Propri´et´e. Si Eest de dimension finie, l’application E−→ L(E, R)
x7−→ < x, . > est un isomorphisme.
Th´eor`eme. On ne suppose pas que Eest de dimension finie.
Si Fest un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, alors F⊥est l’unique suppl´ementaire
orthogonal de F. De plus F= (F⊥)⊥.
D´efinition. On appelle espace euclidien tout espace pr´ehilbertien de dimension finie.
Propri´et´e.
Si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de Esuppos´e euclidien, alors (F∩G)⊥=F⊥+G⊥.
Propri´et´e. Si Fest un sous-espace vectoriel de Esuppos´e euclidien, alors dim(F⊥) = dimE−dimF .
Propri´et´e. Soit e= (e1, . . . , en) une base orthonorm´ee de E. Soient xet ydes vecteurs de Edont
les coordonn´ees dans la base esont donn´ees sous forme de vecteurs colonnes not´es Xet Y. Alors
< x, y >=tY X =tXY.
D´efinition. (hors programme) La matrice du produit scalaire dans la base eest ´egale `a :
mat(< ., . >, e)=(< ei, ej>)1≤i≤n
1≤j≤n
∈ Mn(R).
Formule. (hors programme) Soit eune base quelconque de E. On note Ω la matrice de < ., . > dans
la base e. Soient xet ydeux vecteurs de E, dont les coordonn´ees dans esont donn´ees sous la forme
des vecteurs colonnes Xet Yde Rn. Alors < x, y >=tXΩY=tYtΩX=X
1≤i≤n
1≤j≤n
xiyjωi,j .
2.3 Distance d’un vecteur `a un sous-espace vectoriel
D´efinition. Soit Fun sous-espace vectoriel de Etel que FLF⊥=E. On appelle projection
orthogonale sur F, la projection sur Fparall`element `a F⊥. Dans ce chapitre, elle est not´ee pF.
Formule. Soit Fun sous-espace vectoriel de dimension finie de E. On suppose que Fest muni d’une
base orthonorm´ee e= (e1, . . . , en). Alors, pour tout x∈E,pF(x) =
n
X
i=1
< ei, x > ei.
D´efinition. Si a, b ∈E, on appelle distance de a`a bla quantit´e d(a, b) = ka−bk.
D´efinition. Si a∈Eet si Best une partie non vide de E, on appelle distance de a`a Bla quantit´e
d(a, B) = inf{d(a, b)/b ∈B}.
Th´eor`eme de la projection orthogonale : soient a∈Eet Fun sous-espace vectoriel de
dimension finie de E.
Alors, d(a, F ) = d(a, pF(a)) et pour tout y∈F\ {pF(a)},d(a, y)> d(a, F ).
De plus, kak2=kpF(a)k2+d(a, F )2et, si (e1, . . . , en) est une base orthonorm´ee de F, on dispose
de l’in´egalit´e de Bessel : kak2≥
n
X
i=1
< ei, a >2.
Propri´et´e. On suppose que Eest de dimension finie n≥1. Soit Hun hyperplan affine de E, passant
par un point Aet dirig´e par l’hyperplan vectoriel H:
c
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Si −→ nest un vecteur non nul de H⊥, pour tout M∈ E,d(M, H) = |<−→
n , −−→ AM > |
k−→ nk.
Si Ha pour ´equation cart´esienne
n
X
i=1
αixi=cdans un rep`ere orthonorm´e,
pour tout M∈ E,d(M, H) =
|
n
X
i=1
αixi−c|
v
u
u
t
n
X
i=1
α2
i
, o`u (x1, . . . , xn) sont les coordonn´ees de Mdans le rep`ere.
2.4 Proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Th´eor`eme. Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soient n∈N∗et (xk)k∈{1,...,n}une famille libre
de vecteurs de E. Alors il existe une unique famille orthonormale de vecteurs (ek)k∈{1,...,n}telle
que, pour tout k∈ {1, . . . , n},
i) ek∈V ect(x1, . . . , xk)
ii) et < ek, xk>∈R∗
+.
De plus, pour tout k∈ {1, . . . , n},ekest positivement colin´eaire `a la projection orthogonale de xksur
l’orthogonal de V ect(x1, . . . , xk−1). C’est-`a-dire que la famille (ek)k∈{1,...,n}est r´ecursivement d´efinie
par les relations suivantes :
ek=Ek
kEkk,o`u Ek=xk−
k−1
X
i=1
< ei, xk> ei.
Ce th´eor`eme est aussi valable pour une famille libre d´enombrable (xk)k∈N∗de vecteurs de E.
Propri´et´e. Interpr´etation matricielle du proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Soient n∈N∗et x= (xk)k∈{1,...,n}une base de E.
Alors il existe une unique base orthonorm´ee e= (e1, . . . , en) de Etelle que la matrice de passage de
evers xest triangulaire sup´erieure, ses coefficients diagonaux ´etant de plus strictement positifs.
Propri´et´e. Supposons que Eest de dimension finie.
Eadmet au moins une base orthonorm´ee.
Toute famille orthonormale de Epeut ˆetre compl´et´ee en une base orthonorm´ee.
Corollaire. Hors programme. Soit u∈L(E) tel que χuest scind´e. Alors uest trigonalisable en
base orthonormale.
c
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