colles

Lycée Louis-le-Grand — MPSI 2
Programmes de colles 2019–2020
D’après Monsieur Merle, compilé par Quentin De Muynck
36 semaines de mathématiques, dont 14 à distance...

Table des matières
Semaine 1 1
Semaine 2 6
Semaine 3 7
Semaine 4 9
Semaine 5 11
Semaine 6 14
Semaine 7 17
Semaine 8 19
Semaine 9 23
Semaine 10 24
Semaine 11 28
Semaine 12 31
Semaine 13 34
Semaine 14 37
Semaine 15 39
Semaine 16 42
Semaine 17 46
Semaine 18 49
Semaine 19 50
Semaine 20 55
Semaine 21 58
Semaine 22 62
Semaine 23 66
Semaine 24 68
Semaine 25 73
Semaine 26 77
2

TABLE DES MATIÈRES 3
Semaine 27 78
Semaine 28 81
Semaine 29 85

4TABLE DES MATIÈRES

MPSI 2
Programme des colles de math´ematiques.
Semaine 1 : du lundi 23 septembre au vendredi 27.
Liste des questions de cours
1◦) Si fest une bijection d’une partie Ede Rvers une partie Fde R, comment d´eduit-on le graphe
de f−1`a partir du graphe de f? D´emontrez-le.
2◦) Montrer `a l’aide des complexes que cos p+ cos q= 2 cos p+q
2cos p−q 2.
3◦) R´esoudre l’´equation cos x= cos(π
3−2x).
4◦) R´esoudre l’´equation √3 cos x−sin x= 2.
5◦) Tracer les graphes des fonctions tan et arctan.
6◦) Montrer que, pour tout x > 0, sin x<x.
7◦) Pour tout x∈[−1,1], montrer que arccos x+ arcsin x=π
2.
8◦) Si fest une application continue d’un intervalle Idans Ret si u:J−→ Iet v:J−→ Isont
des applications d´erivables sur un intervalle J, d´eterminer la d´eriv´ee de t7−→ Zv(t)
u(t)
f(x)dx.
9◦) Montrer que, pour tout x, y ∈R∗
+, ln(xy) = ln x+ ln y.
10◦) Montrer que ln(t)
t−→
t→+∞0.
11◦) Tracer le graphe de x7−→ xα, en distinguant les cas o`u α∈N,α∈Zavec α < 0 et α∈R\Z.
12◦) Pr´esenter l’´etude de la fonction x7−→ ln x
x.
13◦) Comment le graphe de x7−→ f(ax) se d´eduit-il du graphe de f? Le d´emontrer.
14◦) Graphes des fontions sh, ch et th.
15◦) Donner (en justifiant) une expression logarithmique de argch(x).
Les th`emes de la semaine
Il s’agit d’une premi`ere approche de la d´erivation et de l’int´egration des fonctions de Rdans R. On
admet les th´eor`emes n´ecessaires et aucune maˆıtrise th´eorique n’est attendue des ´el`eves `a ce sujet. On
d´efinit et l’on ´etudie les fonctions usuelles.
Concernant l’int´egration, les formules de changement de variable et d’int´egration par parties seront
seulement au programme en semaine 2.
1
Semaine 1
1