FICHE N◦ 19 CPUS 2013-2014 ESPACES HERMITIENS EXERCICE 1. Z 1 On définit ψ sur Cn [X] × Cn [X] par ψ(P, Q) = P (x)Q(−x) dx. Vérifier que ψ est une forme sesquilinéaire −1 hermitienne. Est-elle positive ? définie positive ? EXERCICE 2. Z Soit ψ : Cn [X] × Cn [X] → C définie par ψ(P, Q) = 1 P (t)Q(t) dt On a déjà vu (Ex5 Feuille 18) que ψ est une forme 0 sesquilinéaire hermitienne. Notons alors q sa forme quadratique hermitienne associée. 1) Montrer que q est définie positive et donc que (E, ψ) est un espace hermitien. 2) Soit P (X) = 1 le polynôme constant sur Cn [X]. Dans le cas où n = 2, déterminer l’orthogonal de {P }. EXERCICE 3. Soit E = C3 muni du produit scalaire hermitien usuel. Soit F le sous-espace vectoriel de E défini par F = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ C3 | x1 − x2 + ix3 = 0}. 1) Déterminer l’orthogonal de F . 2) Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur F . 3) Trouver une base orthonormale de F . EXERCICE 4. Soit E un espace hermitien. On suppose que l’endomorphisme f est tel que pour tout x ∈ E, on ait (f (x) | x) = 0. 1) Montrer que pour tout x, y ∈ E, on a (f (x) | y) = 0. 2) En déduire que f est l’endomorphisme nul. 3) Peut-on démontrer le même résultat dans le cas euclidien ? EXERCICE 5. Z Soit ψ : Cn [X] × Cn [X] définie par ψ(P, Q) = π P (eiθ )Q(eiθ ) dθ. −π 1) Montrer que ψ est un produit scalaire hermitien sur Cn [X]. 2) Montrer que la famille (X k )06k6n est une base orthonormée de Cn [X]. 3) Posons Q = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 . Calculer kQk2 . 4) Posons M = sup|z|=1 |Q(z)|. Montrer que M > 1, et étudier le cas d’égalité. 1 FICHE N◦ 19 - SUITE CPUS 2013-2014 ESPACES HERMITIENS EXERCICE 6. 1 i 0 4 i −i Diagonaliser les matrices suivantes dans des bases orthonormées : A = −i 0 1 et B = −i 4 1 . 0 1 1 i 1 4 EXERCICE 7. On munit C2 [X] du produit scalaire hermitien tel que la base canonique B = (1, X, X 2 ) soit orthonormale. 1) Si P = a0 + a1 X + a2 X 2 et Q = b0 + b1 X + b2 X 2 , calculer (P | Q). On considère l’endomorphisme D de C2 [X] défini par ∀P ∈ C2 [X], D(P ) = iP 0 + P . 2) Ecrire la matrice de D dans la base B. 3) Déterminer l’adjoint de D. EXERCICE 8. Soit M ∈ Mn (C). Montrer qu’il existe un unique couple de matrices hermitiennes (H, K) telles que M = H + iK. EXERCICE 9. Soit E un espace hermitien et u ∈ L(E). Montrer que u est autoadjoint si et seulement si ∀x ∈ E, (u(x) | x) ∈ R. EXERCICE 10. Soit E un espace hermitien, et u un morphisme unitaire de E 1) Si λ est une valeur propre de u, montrer que |λ| = 1. 2) Montrer que u admet un vecteur propre. 3) Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors F ⊥ est stable par u. 4) Montrer, par récurrence sur la dimension de E, que tout morphisme unitaire de E est diagonalisable dans une base orthonormée. 5) Donner un exemple d’isométrie de R2 qui ne soit pas diagonalisable. 2