FICHE N 19 CPUS 2013-2014 ESPACES HERMITIENS EXERCICE

FICHE N◦19 CPUS 2013-2014
ESPACES HERMITIENS
EXERCICE 1.
On d´efinit ψsur Cn[X]×Cn[X] par ψ(P, Q) = Z1
−1
P(x)Q(−x) dx. V´erifier que ψest une forme sesquilin´eaire
hermitienne. Est-elle positive ? d´efinie positive ?
EXERCICE 2.
Soit ψ:Cn[X]×Cn[X]→Cd´efinie par ψ(P, Q) = Z1
0
P(t)Q(t) dtOn a d´ej`a vu (Ex5 Feuille 18) que ψest une forme
sesquilin´eaire hermitienne. Notons alors qsa forme quadratique hermitienne associ´ee.
1) Montrer que qest d´efinie positive et donc que (E, ψ) est un espace hermitien.
2) Soit P(X) = 1 le polynˆome constant sur Cn[X]. Dans le cas o`u n= 2, d´eterminer l’orthogonal de {P}.
EXERCICE 3.
Soit E=C3muni du produit scalaire hermitien usuel. Soit Fle sous-espace vectoriel de Ed´efini par
F={(x1, x2, x3)∈C3|x1−x2+ix3= 0}.
1) D´eterminer l’orthogonal de F.
2) D´eterminer la matrice de la projection orthogonale sur F.
3) Trouver une base orthonormale de F.
EXERCICE 4.
Soit Eun espace hermitien. On suppose que l’endomorphisme fest tel que pour tout x∈E, on ait (f(x)|x) = 0.
1) Montrer que pour tout x, y ∈E, on a (f(x)|y) = 0.
2) En d´eduire que fest l’endomorphisme nul.
3) Peut-on d´emontrer le mˆeme r´esultat dans le cas euclidien ?
EXERCICE 5.
Soit ψ:Cn[X]×Cn[X] d´efinie par ψ(P, Q) = Zπ
−π
P(eiθ )Q(eiθ ) dθ.
1) Montrer que ψest un produit scalaire hermitien sur Cn[X].
2) Montrer que la famille (Xk)06k6nest une base orthonorm´ee de Cn[X].
3) Posons Q=Xn+an−1Xn−1+. . . +a0. Calculer kQk2.
4) Posons M= sup|z|=1 |Q(z)|. Montrer que M>1, et ´etudier le cas d’´egalit´e.
1

FICHE N◦19 - SUITE CPUS 2013-2014
ESPACES HERMITIENS
EXERCICE 6.
Diagonaliser les matrices suivantes dans des bases orthonorm´ees : A=
1i0
−i0 1
0 1 1
et B=
4i−i
−i4 1
i1 4
.
EXERCICE 7.
On munit C2[X] du produit scalaire hermitien tel que la base canonique B= (1, X, X2) soit orthonormale.
1) Si P=a0+a1X+a2X2et Q=b0+b1X+b2X2, calculer (P|Q).
On consid`ere l’endomorphisme Dde C2[X] d´efini par ∀P∈C2[X], D(P) = iP 0+P.
2) Ecrire la matrice de Ddans la base B.
3) D´eterminer l’adjoint de D.
EXERCICE 8.
Soit M∈ Mn(C). Montrer qu’il existe un unique couple de matrices hermitiennes (H, K) telles que M=H+iK.
EXERCICE 9.
Soit Eun espace hermitien et u∈ L(E). Montrer que uest autoadjoint si et seulement si ∀x∈E, (u(x)|x)∈R.
EXERCICE 10.
Soit Eun espace hermitien, et uun morphisme unitaire de E
1) Si λest une valeur propre de u, montrer que |λ|= 1.
2) Montrer que uadmet un vecteur propre.
3) Montrer que si Fest un sous-espace vectoriel de Estable par u, alors F⊥est stable par u.
4) Montrer, par r´ecurrence sur la dimension de E, que tout morphisme unitaire de Eest diagonalisable dans une base
orthonorm´ee.
5) Donner un exemple d’isom´etrie de R2qui ne soit pas diagonalisable.
2