Ecole Polytechnique Formation préparatoire

Ecole Polytechnique
Formation pr´eparatoire - Math´ematiques
Espaces euclidiens et hermitiens.
D´efinitions. Soit Eun espace vectoriel sur K=R. Soit β:E×E→R.
1) On dit que βest une forme bilin´eaire si, pour tout x∈Ealors y→β(x, y) est lin´eaire, et pour
tout y∈Ealors x→β(x, y) est lin´eaire.
2) βest dite sym´etrique si , pour tout (u, v)∈E2, on a β(u, v) = β(v, u).
3) Soit βune forme bilin´eaire sym´etrique sur E. On dit que c’est un produit scalaire si βest d´efinie
positive, c’est-`a-dire pour tout u∈E, on a β(u, u)≥0 et β(u, u)=0⇔u= 0 .
Un espace vectoriel de dimension finie sur Rmuni d’un produit scalaire est appel´e espace euclidien.
D´efinitions. Soit Eun espace vectoriel sur C. Soit β:E×E→C.
1) On dit que βest une forme sesquilin´eaire si pour tout y∈Ealors x→β(x, y) est lin´eaire
et si pour tout x∈Ealors y→β(x, y) est anti-lin´eaire, c’est-`a-dire pour tout λ∈C, on a
β(x, λy) = λβ(x, y).
2) βest dite hermitienne si , pour tout (u, v)∈E2, on a β(u, v) = β(v, u).
3) Soit βune forme hermitienne sur E. On dit que c’est un produit hermitien (ou produit
scalaire hermitien) si βest d´efinie positive, c’est-`a-dire pour tout u∈E, on a β(u, u)≥0 et
β(u, u)=0⇔u= 0 .
Un espace vectoriel de dimension finie sur Cmuni d’un produit scalaire hermitien est appel´e
espace hermitien.
Un espace vectoriel sur K=Rou Cmuni d’un produit scalaire est appel´e espace pr´ehilbertien
lorsqu’il est de dimension infinie.
Dans toute la suite, Eest un espace vectoriel de dimension finie nsur K=Rou Cmuni d’un
produit scalaire (hermitien) not´e < , >.
Deux vecteurs uet vsont dit orthogonaux si < u, v >= 0.
Une famille (ei)1≤i≤nde vecteurs de Eest dite orthogonale si < ei, ej>= 0.
Elle est dite orthonorm´ee ou orthonormale si elle est orthogonale et si ,pour tout i, on a keik= 1.
Propri´et´es.
1) In´egalit´e de Cauchy-Schwarz : |< u, v >|≤ kuk kvk
On d´efinit une norme sur Een posant kuk=√< u, u >.
2) 2Re < u, v >=ku+vk2− kuk2− kvk2
3) Th´eor`eme de Pythagore : Re < u, v >= 0 ⇔ ku+vk2=kuk2+kvk2
4) Comme Eest de dimension finie alors Eposs`ede une base orthonorm´ee.
5) Soit Fun sous-espace vectoriel de E.
On appelle orthogonal de Fl’espace F⊥={u∈E; pour tout x∈Fon a < u, x >= 0}.
Comme Eest de dimension finie alors on a F⊕F⊥=Eet (F⊥)⊥=F.
Ces 2 propri´et´es ne sont plus vraies en g´en´eral si Eest de dimension infinie.
Th´eor`eme. Pour tout f∈E∗, il existe un unique vecteur a∈Etel que, pour tout y∈Ealors
f(y) =< a, y >.
Proposition et d´efinition. Soit f:E→Eun endomorphisme de E. Il existe un unique en-
domorphisme de Ev´erifiant, pour tout xet ydans Ela propri´et´e : < f (x), y >=< x, f∗(y)>.
L’endomorphisme f∗s’appelle l’adjoint de f.

Si Aest la matrice de fdans une base orthonorm´ee alors la matrice de f∗dans cette mˆeme base
est tA.
Si V⊂Eest un sous-espace de Estable par falors V⊥est stable par f∗