1 Applications linéaires. 2 Espace préhilbertiens.

Ecole Polytechnique
Formation pr´eparatoire - Math´ematiques
Application lin´eaire entre espaces vectoriels norm´es.
Espaces de Hilbert.
1 Applications lin´eaires.
Soient (E, k kE) et (F, k kF) deux espaces vectoriels norm´es.
Soit u:E→Fune application lin´eaire. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(i) uest continue
(ii) uest uniform´ement continue
(iii) ∃M > 0∀x∈Eku(x)kF≤MkxkE
Propri´et´es.
(1) Il existe un unique, `a isom´etrie pr`es, espace vectoriel norm´e ( ˆ E, k kE) contenant Ecomme sous-
espace dense et v´erifiant la propri´et´e universelle suivante : si (F, k kF) est complet, alors toute appli-
cation uniform´ement continue f:E→Fse prolonge en une application continue de ˆ Edans F. Ainsi
toute application lin´eaire continue de Edans Fse prolonge en une application lin´eaire de ˆ Edans F.
L’espace ˆ Es’appelle le compl´et´e de E.
(2) Si Eest de dimension finie alors toute application lin´eaire est continue. Ceci est faux si dim E
est infinie.
Soit u:E→Fune application lin´eaire et continue. On d´efinit la norme kukde upar
kuk= sup
x∈E−{0}
ku(x)kF
kxkE
= sup
x;kxkE=1
ku(x)kF= sup
x;kxkE≤1
ku(x)kF.
Soient (E1,k k1), (E2,k k2) et (F, k kF) des espaces vectoriels norm´es. Alors k(x1, x2)k=supkx1k1,kx2k2
est une norme sur E1×E2.
Si b:E1×E2→Fest une application bilin´eaire alors best continue si et seulement si
∃C > 0∀(x1, x2)∈E1×E2;kb(x1, x2)kF≤Ckx1k1kx2k2.
2 Espace pr´ehilbertiens.
D´efinitions. Soit Eun espace vectoriel de dimension quelconque sur K=Rou C. Soit β:E×E→K.
1) On dit que βest une forme sesquilin´eaire si
(i) Pour tous u, x, y dans Eet λ∈K, on a β(u, x +y) = β(u, x) + β(u, y) et β(u, λx) = λβ(x)
(ii) Pour tous v, x, y dans Eet λ∈K, on a β(x+y, v) = β(x, v) + β(y, v) et β(λx, v) = λβ(x, v)
2) βest dite sym´etrique si , K=Ret pour tout u, v dans E, on a β(u, v) = β(v, u).
βest dite hermitienne si , K=Cet pour tout u, v dans E, on a β(u, v) = β(v, u).
3) Soit βune forme sesquilin´eaire sym´etrique (pour K=R) ou hermitienne (pour K=C) sur E.
On dit que c’est un produit scalaire si βest d´efinie positive, c’est-`a-dire pour tout u∈E, on a
β(u, u)≥0 et β(u, u)=0⇔u= 0 .
On d´efinit une norme sur Een posant kuk=pβ(u, u).
Deux vecteurs uet vsont dit orthogonaux si β(u, v) = 0.
Une famille (ei)i∈Ide vecteurs de Eest dite orthonorm´ee ou orthonormale si β(ei, ej) = 0 si i6=j
et keik= 1.

Un espace vectoriel Emuni d’un produit scalaire est appel´e espace pr´ehilbertien.
Si K=R, un espace pr´ehilbertien de dimension finie est appel´e espace euclidien.
Si K=C, un espace pr´ehilbertien de dimension finie est appel´e espace hermitien.
Propri´et´es. Soit Eun espace pr´ehilbertien sur Kmuni d’un produit scalaire ( ,). On a les propri´et´es
suivantes
1) In´egalit´e de Cauchy-Schwarz : |(u, v)|≤ kuk kvk
2) 2(u, v) = ku+vk2− kuk2− kvk2
3) Th´eor`eme de Pythagore : (u, v) = 0 ⇔ ku+vk2=kuk2+kvk2
4) Lorsque Eest de dimension finie alors Eposs`ede une base orthonormale.
5) Soit Fun sous-espace vectoriel de E. On appelle orthogonal de Fl’espace F⊥={u∈E; pour tout x∈
Fon a (u, x) = 0}.Lorsque Eest de dimension finie alors on a F⊕F⊥=Eet (F⊥)⊥=F.
Ces 2 propri´et´es ne sont plus vraies en g´en´eral si Eest de dimension infinie.
D´efinitions.
Un espace de Hilbert est un espace pr´ehilbertien complet pour la norme d´efinie par le produit
scalaire.
Un espace de Hilbert est dit s´eparable s’il admet une partie d´enombrable dense.
Une base hilbertienne est une famille orthonormale qui engendre un sous-espace vectoriel dense de
E.
Attention. Une base hilbertienne n’est pas une base au sens alg´ebrique. On rappelle
qu’une famille libre (vj)j∈Jest une base de Eau sens alg´ebrique si, pour tout v∈E, il existe un
sous-ensemble fini T⊂Jtel que v∈X
j∈T
Kvj.
Propri´et´es. Soit Eun espace de Hilbert.
(1) Si Eest s´eparable alors il admet une base hilbertienne.
(2) Pour tout sous-espace vectoriel Fferm´e, on a F⊕F⊥=Eet (F⊥)⊥=F.