1 Applications linéaires. 2 Espace préhilbertiens.

Ecole Polytechnique
Formation préparatoire - Mathématiques
Application linéaire entre espaces vectoriels normés.
Espaces de Hilbert.
1
Applications linéaires.
Soient (E, k kE ) et (F, k kF ) deux espaces vectoriels normés.
Soit u : E → F une application linéaire. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) u est continue
(ii) u est uniformément continue
(iii) ∃ M > 0 ∀ x ∈ E ku(x)kF ≤ M kxkE
Propriétés.
(1) Il existe un unique, à isométrie près, espace vectoriel normé (Ê, k kE ) contenant E comme sousespace dense et vérifiant la propriété universelle suivante : si (F, k kF ) est complet, alors toute application uniformément continue f : E → F se prolonge en une application continue de Ê dans F . Ainsi
toute application linéaire continue de E dans F se prolonge en une application linéaire de Ê dans F .
L’espace Ê s’appelle le complété de E.
(2) Si E est de dimension finie alors toute application linéaire est continue. Ceci est faux si dim E
est infinie.
Soit u : E → F une application linéaire et continue. On définit la norme kuk de u par
ku(x)kF
kuk = sup
= sup ku(x)kF = sup ku(x)kF .
x∈E−{0} kxkE
x; kxkE =1
x; kxkE ≤1
Soient (E1 , k k1 ), (E2 , k k2 ) et (F, k kF ) des espaces vectoriels normés. Alors k(x1 , x2 )k = sup kx1 k1 , kx2 k2
est une norme sur E1 × E2 .
Si b : E1 × E2 → F est une application bilinéaire alors b est continue si et seulement si
∃ C > 0 ∀ (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 ; kb(x1 , x2 )kF ≤ Ckx1 k1 kx2 k2 .
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Espace préhilbertiens.
Définitions. Soit E un espace vectoriel de dimension quelconque sur K = R ou C . Soit β : E×E → K.
1) On dit que β est une forme sesquilinéaire si
(i) Pour tous u, x, y dans E et λ ∈ K , on a β(u, x + y) = β(u, x) + β(u, y) et β(u, λx) = λβ(x)
(ii) Pour tous v, x, y dans E et λ ∈ K , on a β(x + y, v) = β(x, v) + β(y, v) et β(λx, v) = λβ(x, v)
2) β est dite symétrique si , K = R et pour tout u, v dans E, on a β(u, v) = β(v, u).
β est dite hermitienne si , K = C et pour tout u, v dans E, on a β(u, v) = β(v, u).
3) Soit β une forme sesquilinéaire symétrique (pour K = R ) ou hermitienne (pour K = C) sur E.
On dit que c’est un produit scalaire si β est définie positive, c’est-à-dire pour tout u ∈ E, on a
β(u, u) ≥ 0 et β(u, u) = 0 ⇔ u = 0 .
p
On définit une norme sur E en posant kuk = β(u, u).
Deux vecteurs u et v sont dit orthogonaux si β(u, v) = 0.
Une famille (ei )i∈I de vecteurs de E est dite orthonormée ou orthonormale si β(ei , ej ) = 0 si i 6= j
et kei k = 1.
Un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien.
Si K = R, un espace préhilbertien de dimension finie est appelé espace euclidien.
Si K = C, un espace préhilbertien de dimension finie est appelé espace hermitien.
Propriétés. Soit E un espace préhilbertien sur K muni d’un produit scalaire ( , ). On a les propriétés
suivantes
1) Inégalité de Cauchy-Schwarz : | (u, v) |≤ kuk kvk
2) 2(u, v) = ku + vk2 − kuk2 − kvk2
3) Théorème de Pythagore : (u, v) = 0 ⇔ ku + vk2 = kuk2 + kvk2
4) Lorsque E est de dimension finie alors E possède une base orthonormale.
5) Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle orthogonal de F l’espace F ⊥ = {u ∈ E; pour tout x ∈
F on a (u, x) = 0}. Lorsque E est de dimension finie alors on a F ⊕ F ⊥ = E et (F ⊥ )⊥ = F .
Ces 2 propriétés ne sont plus vraies en général si E est de dimension infinie.
Définitions.
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour la norme définie par le produit
scalaire.
Un espace de Hilbert est dit séparable s’il admet une partie dénombrable dense.
Une base hilbertienne est une famille orthonormale qui engendre un sous-espace vectoriel dense de
E.
Attention. Une base hilbertienne n’est pas une base au sens algébrique. On rappelle
qu’une famille libre (vj )j∈J est une base
X de E au sens algébrique si, pour tout v ∈ E, il existe un
sous-ensemble fini T ⊂ J tel que v ∈
Kvj .
j∈T
Propriétés. Soit E un espace de Hilbert.
(1) Si E est séparable alors il admet une base hilbertienne.
(2) Pour tout sous-espace vectoriel F fermé, on a F ⊕ F ⊥ = E et (F ⊥ )⊥ = F .