Exercices sur les polynômes

EXERCICES
SUR LES POLYNOMES
G.EGUETHER
26 août 2016

Table des matières
1 Division euclidienne 1
2 Reste de la division euclidienne 11
3 Racines multiples 21
4 Factorisation 37
5 Divisibilité 51
6 PGCD 63
7 Division suivant les puissances croissantes 73
8 Nombres entiers 79
9 Relations entre les coefficients et les racines 83
10 Divers 99
11 Polynômes dans Z/nZ129
i

ii TABLE DES MATIÈRES
Avertissement
On trouvera dans ce qui suit de nombreux exercices sur les polynômes classés en onze grands thèmes.
On proposera pour chaque exercice une démonstration, mais il peut, bien sûr, y avoir d’autres moyens
de procéder.
Dans ces exercices, on utilise parfois un minimum d’analyse (monotonie et signe de la dérivée par
exemple) ou un peu d’algèbre linéaire (base de polynômes).
Notations
Excepté dans le chapitre 11, les polynômes considérés sont à coefficients dans Rou C. Si Kest un
corps (ou un anneau), on notera Pou P(X)un polynôme de K[X]. On notera également Pet parfois
e
Pla fonction polynomiale associée à P.
Les coefficients binomiaux sont notés
n
k=n!
k!(n−k)! .
Lorsque l’on pose une division, on a pris le parti de changer le signe des termes pour les additionner à
la ligne précédente.
X8−1X3−1
−X8+X5X5+X2
+X5
−X5+X2
+X2−1

Chapitre 1
Division euclidienne
Exercice 1
Effectuer la division euclidienne de X8−1par X3−1.
Solution
On effectue la division euclidienne :
X8−1X3−1
−X8+X5X5+X2
+X5
−X5+X2
+X2−1
Donc
X8−1 = (X5+X2)(X3−1) + X2−1.
Exercice 2
Effectuer la division euclidienne de
P(X) = X5−X4+ 3X3−2X2+ 6X−1par S(X) = X2+X+ 2 ,
et calculer P(z1)et P(z2)lorsque z1et z2sont les racines de S.