Solutions des exercices d`introduction aux nombres complexes

Solutions Geneviève Savard ÉTS 1
Solutions des exercices
d’introduction aux
nombres complexes
Question 1 ( +− × ÷)
Calculez à la main, puis vérifiez avec la TI.
(a) Les deux racines du polynôme p(z) = z2−6z+10
sont calculées à l’aide de la formule quadratique
avec a=1, b=−6 et c=10. On trouve z1=3+i
et z2=3−iOU VICE VERSA.
(b) La somme est un nombre réel car les parties ima-
ginaires s’annullent.
z1+z2=6+0i=6
(c) Le produit est lui aussi un nombre rééel : z1z2=
10.
(d) Le quotient est
z1
z2=3+i 3−i=4 5+3 5i
ou, si les valeurs de z1et z2sont choisies à l’in-
verse z1
z2=3−i 3+i=4 5−3 5i
(e) Sur le plan, on constate que la courbe qui relie les
points z1,z2et z3forme une spirale qui s’éloigne
de l’origine.
(z1)1=3+i(z1)2=8+6i(z1)3=18+26i
ou
(z1)1=3−i(z1)2=8−6i(z1)3=18−26i
Question 2 (Voir section 1.8 du résumé)
Avec la formule
e(a+bi)=ea³cos(b) + isin(b)´
on trouve
ez3=−iet ez4=−e2
Ainsi ln(−i) = 0−π
2iet ln(−e2) = 2+πi.
Question 3 (Racines de polynômes)
Pensez au théorème fondamental de l’algèbre et à la for-
mule quadratique.
(a) Est-il possible qu’un polynôme de degré 2 à coef-
ficients réels
p(x) = ax2+bx+c
possède une racine réelle et une racine complexe ?
Pourquoi?
Non. Les racines complexes viennent par paires
a±bi comme nous l’avons vu au cours. Il est donc
impossible que le polynôme ppossède une seule
racine complexe.
(b) Est-il possible qu’un polynôme de degré 2 à coef-
ficients réels
p(x) = ax2+bx+c
ne possède aucune racine réelle ni aucune racine
complexe? Pourquoi?
Non. Selon le théorème fondamentqal de l’al-
gèbre, un polynôme de degré 2 possède 2 racines
dans l’ensemble des nombres complexes, si l’on
tient compte de la multiplicité.
(c) Est-il possible qu’un polynôme de degré 3 à coef-
ficients réels
p(x) = ax3+bx2+cx+d
possède trois racines complexes (non réelles)?
Non. Les racines complexes viennent par paires
a±bi comme nous l’avons vu au cours. Ainsi,
voici les possibilités de racines pour le polynôme
p. A) 3 racines réelles discintes (c’est-à-dire 3 ra-
cines de multiplicité 1). B) 1 racine réelle de multi-
plicité 2 et une autre racine réelle de multiplicité 1.
C) Une seule racine réelle et 2 racines complexes.
D) Une racine réelle de multiplicité 3 et aucune
racine complexe.
Question 4 (L’ensemble de Mandelbrot )
(a) La suite n’est pas bornée. On peut constater en cal-
culant les znavec la TI que ceux-ci deviennent de
plus en plus "grands".
(b) Le point 0.2+idu plan complexe n’appartient pas
à l’ensemble M.
(c) Le point 0.2+0.1iappartient à M. On peut consta-
ter en calculant les znque ceux-ci semblent conver-
ger vers −0.1748989639−0.07408516337i.
Remarque. En Maple, le nombre iest désigné par I.
Ainsi, le nombre 0.2+0.1idevient 0.2+0.1∗I.