Compléments sur les polynômes Equations et inéquations

  .
 : On appelle fonction polynôme de la variable réelle x de degré n à coefficients réels
toute fonction de la forme :
ℝ → ℝ
P:x↦anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0=∑
i=0
n
aixi
avec
∀i∈⟦0,n⟧et an≠0
 :
•On peut aussi considérer des polynômes à coefficients complexes (de variable réelle ou
complexe!)
•Une fonction polynôme constante non nulle est de degré 0.
•La fonction polynôme nulle est de degré
−∞
.
•Si
an=1
, on dit que P est unitaire.
•L'écriture sous forme de combinaison linéaires de monômes
(xi)i∈⟦0, n⟧
est unique (principe
d'identification des coefficients).
 : le nombre
α
est racine de P si et seulement si
P(α)=0
.
 :
α
est racine de P si et seulement si on peut factoriser P par
(x−α)
.
 :
α
est racine de multiplicité k
(k∈ℕ*)
s'il existe un polynôme Q de degré n-k
n'ayant pas
α
pour racine tel que :
∀x∈ℝ , P (x)=( x−α)kQ(x)
 :
• Si k=1,
α
est une racine simple.
•Si k=2,
α
est une racine double.
 :
α
est racine au moins double de P si et seulement si
α
est racine de P et de sa
dérivée P'.
Démonstration : Soit
α
une racine de P. Il existe donc un polynôme Q tel que :
∀x∈ℝ , P (x)=( x−α)Q(x).
α
est racine au moins double si
α
est une racine de Q
Or
∀x∈ℝ , P ' (x)=Q(x)+( x−α)Q ' (x)
, donc
α
racine de Q si et seulement si
α
est
racine P'.
Exemple :
P(x)=x2−2x+1
;
P(x)=x4−10 x3+37x2−60 x+36 possède deux racines doubles: 2 et 3.
Compléments sur les polynômes
Equations et inéquations irrationnelles.

!"#$%&'()!*""$+!, :
Tout polynôme non nul possède au moins une racine complexe.
- :
•Tout polynôme non nul de degré n possède n racines (éventuellement confondues, c'est à
dire qu'elles sont comptées avec leur ordre de multiplicité.
•Une fonction polynôme de degré n ayant n+1 racines est nulle.
•Si deux fonctions polynômes de degré n coïncident pour n+1 valeurs distinctes, elles sont
égales.
: ce théorème ne permet pas de trouver la valeurs de racines.
!(./,
Soit
Σ(resp.Π)
la somme (respectivement le produit) des racines (comptées avec leur ordre
de multiplicité) d'un polynôme de degré n> 0. Alors :
Σ=−an−1
an
Π=(−1)na0
an
Exemple :
P(x)=x4−10 x3+37x2−60 x+36
Σ=2×2+3×2=10 Π=22×32=36
(
=(−1)436
1
)
II. 01 .