Compléments sur les polynômes Equations et inéquations

  .
 : On appelle fonction polynôme de la variable réelle x de degré n à coefficients réels
toute fonction de la forme :
ℝ → ℝ
P:xanxn+an1xn1+...+a1x+a0=
i=0
n
aixi
avec
i∈⟦0,net an0
 :
On peut aussi considérer des polynômes à coefficients complexes (de variable réelle ou
complexe!)
Une fonction polynôme constante non nulle est de degré 0.
La fonction polynôme nulle est de degré
−∞
.
Si
an=1
, on dit que P est unitaire.
L'écriture sous forme de combinaison linéaires de monômes
(xi)i0, n
est unique (principe
d'identification des coefficients).
 : le nombre
α
est racine de P si et seulement si
P(α)=0
.
 :
α
est racine de P si et seulement si on peut factoriser P par
(x−α)
.
 :
α
est racine de multiplicité k
(k*)
s'il existe un polynôme Q de degré n-k
n'ayant pas
α
pour racine tel que :
 :
Si k=1,
α
est une racine simple.
Si k=2,
α
est une racine double.
 :
α
est racine au moins double de P si et seulement si
α
est racine de P et de sa
dérivée P'.
Démonstration : Soit
α
une racine de P. Il existe donc un polynôme Q tel que :
x, P (x)=( xα)Q(x).
α
est racine au moins double si
α
est une racine de Q
Or
x, P ' (x)=Q(x)+( x−α)Q ' (x)
, donc
α
racine de Q si et seulement si
α
est
racine P'.
Exemple :
P(x)=x22x+1
;
P(x)=x410 x3+37x260 x+36 possède deux racines doubles: 2 et 3.
Compléments sur les polynômes
Equations et inéquations irrationnelles.
!"#$%&'()!*""$+!, :
Tout polynôme non nul possède au moins une racine complexe.
- :
Tout polynôme non nul de degré n possède n racines (éventuellement confondues, c'est à
dire qu'elles sont comptées avec leur ordre de multiplicité.
Une fonction polynôme de degré n ayant n+1 racines est nulle.
Si deux fonctions polynômes de degré n coïncident pour n+1 valeurs distinctes, elles sont
égales.
: ce théorème ne permet pas de trouver la valeurs de racines.
!(./,
Soit
Σ(resp.Π)
la somme (respectivement le produit) des racines (comptées avec leur ordre
de multiplicité) d'un polynôme de degré n> 0. Alors :
Σ=an1
an
Π=(−1)na0
an
Exemple :
P(x)=x410 x3+37x260 x+36
Σ=2×2+3×2=10 Π=22×32=36
(
=(−1)436
1
)
II. 01 .
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