Compléments sur les polynômes Equations et inéquations

Compléments sur les polynômes
Equations et inéquations irrationnelles.
I. Fonctions polynômes.
Définition : On appelle fonction polynôme de la variable réelle x de degré n à coefficients réels
toute fonction de la forme :
ℝ→ℝ
n
P : x ↦a n x n+a n− 1 x n−1+...+a 1 x+a 0=∑ a i x i avec ∀i ∈⟦0, n⟧ et a n≠0
i=0
Remarques :
•
On peut aussi considérer des polynômes à coefficients complexes (de variable réelle ou
complexe!)
•
Une fonction polynôme constante non nulle est de degré 0.
•
La fonction polynôme nulle est de degré −∞ .
•
Si a n =1 , on dit que P est unitaire.
•
L'écriture sous forme de combinaison linéaires de monômes ( x i )i ∈⟦0, n⟧ est unique (principe
d'identification des coefficients).
Définition : le nombre α est racine de P si et seulement si P (α)=0 .
Propriété : α est racine de P si et seulement si on peut factoriser P par
( x −α) .
Définition : α est racine de multiplicité k (k ∈ℕ*) s'il existe un polynôme Q de degré n-k
n'ayant pas α pour racine tel que :
∀ x∈ℝ , P ( x)=( x−α)k Q( x)
Vocabulaire :
•
Si k=1, α est une racine simple.
•
Si k=2, α est une racine double.
Propriété : α est racine au moins double de P si et seulement si α est racine de P et de sa
dérivée P'.
Démonstration : Soit α une racine de P. Il existe donc un polynôme Q tel que :
∀ x∈ℝ , P ( x)=( x−α)Q ( x).
α est racine au moins double si
α est une racine de Q
Or ∀ x∈ℝ , P ' (x)=Q( x)+( x−α)Q ' ( x) , donc α racine de Q si et seulement si
racine P'.
Exemple : P (x)= x 2−2x+1 ;
P (x)= x 4−10 x 3+37x 2−60 x+36 possède deux racines doubles: 2 et 3.
α est
Théorème de D'Alembert-Gauss (ou théorème fondamental de l'algèbre) :
Tout polynôme non nul possède au moins une racine complexe.
Conséquences :
•
Tout polynôme non nul de degré n possède n racines (éventuellement confondues, c'est à
dire qu'elles sont comptées avec leur ordre de multiplicité.
•
Une fonction polynôme de degré n ayant n+1 racines est nulle.
•
Si deux fonctions polynômes de degré n coïncident pour n+1 valeurs distinctes, elles sont
égales.
Remarque : ce théorème ne permet pas de trouver la valeurs de racines.
Théorème ( relation entre coefficients et racines).
Soit Σ (resp. Π ) la somme (respectivement le produit) des racines (comptées avec leur ordre
de multiplicité) d'un polynôme de degré n> 0. Alors :
Σ=
−a n−1
an
Π=(−1) n
a0
an
Exemple : P (x)= x 4 −10 x 3+37x 2−60 x+36
2
2
(
4
Σ=2×2+3×2=10 Π=2 ×3 =36 =(−1)
36
1
)
II. Equations et inéquations irrationnelles .