Interrogation no 3 Sujet 1 Exercice 1 (cours, 4 points) 1. Soit (un

Interrogation no 3
Sujet 1
Exercice 1 (cours, 4 points)
1. Soit (un ) une suite réelle définie sur N. Donner la définition
du fait que (un ) est majorée.
2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a ∈ I.
Donner la définition du fait que f est dérivable en a.
3. Donner l’expression de la fonction dérivée des fonctions suivantes.
(a) Pour tout x ∈ R, f (x) = x
(b) Pour tout x ∈ R, g(x) = x3 .
1
(c) Pour tout x 6= 0, h(x) = .
x
Exercice 2 (5 points)
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. Soit (Vn ) la suite définie pour tout n ∈ N par Vn = 8 − n2 .
(a) Calculer V0 , V1 et V2 .
(b) Étudier les variations de (Vn ).
(b) Programmer l’algorithme à la calculatrice et indiquer la
valeur de n0 .
Exercice 4 (1 point)
Donner un exemple de suite croissante et bornée (la suite pourra
être définie par son terme général ou par récurrence). Aucune justification n’est attendue.
Exercice 5 (4 points)
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 − 5x
1. En revenant à la définition, étudier la dérivabilité de f en
2, et montrer que f ′ (2) = −1.
2. En déduire une équation de la tangente à la courbe
représentative de f au point d’abscisse 2.
Exercice 6 (1,5 points)
On a tracé ci-contre la courbe représentative d’une fonction f
définie et dérivable sur R. La droite T1 est tangente à la courbe en
A, et la courbe admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses
au point B.
1. Déterminer f ′ (−3). Justifier.
2. Déterminer f ′ (1). Justifier.
2. Soit (un ) la suite définie par u0 = 3 et pour tout n ∈ N,
un+1 = un − n2 + 3.
2
(b) Étudier les variations de (un ).
Exercice 3 (4,5 points)
On considère la suite (An ) définie par A0 = 1 et pour tout entier
1
n > 0, An+1 = An + 4.
3
1. Calculer A1 et A2 (rédiger les calculs).
2. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée de
A8 . Arrondir à 10−4 près.
3. On admet que la suite (An ) converge vers 6.
(a) Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0
tel que |An0 − 6| < 10−7.
1
A
(a) Calculer u1 et u2 .
b
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
−3
T1
−4
B
b
−5
−6
−7
Exercice 7 (bonus, 1 point)
Montrer que la courbe de la fonction inverse admet en deux points
1
une tangente parallèle à la droite d’équation y = − x + 3 et
4
préciser les abscisses de ces deux points.
Interrogation no 3
Sujet 2
(b) Programmer l’algorithme à la calculatrice et indiquer la
valeur de n0 .
Exercice 8 (cours, 4 points)
1. Soit (un ) une suite réelle définie sur N. Donner la définition
du fait que (un ) est décroissante.
2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a ∈ I.
Donner la définition du fait que f est dérivable en a.
3. Donner l’expression de la fonction dérivée des fonctions suivantes.
(a) Pour tout x ∈ R, f (x) = x2
√
(b) Pour tout x > 0, g(x) = x.
(c) Pour tout x ∈ R, h(x) = k (fonction constante).
Exercice 9 (5 points)
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. Soit (Vn ) la suite définie pour tout n ∈ N par Vn =
−2
.
n+1
(a) Calculer V0 , V1 et V2 .
(b) Étudier les variations de (Vn ).
2. Soit (un ) la suite définie par u0 = 3 et pour tout n ∈ N,
un+1 = un + 3n + 1.
(a) Calculer u1 et u2 .
Exercice 11 (1 point)
Donner un exemple de suite croissante et minorée par 5 (la suite
pourra être définie par son terme général ou par récurrence). Aucune justification n’est attendue.
Exercice 12 (4 points)
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 3x2 + x
1. En revenant à la définition, étudier la dérivabilité de f en
−1, et montrer que f ′ (−1) = −5.
2. En déduire une équation de la tangente à la courbe
représentative de f au point d’abscisse −1.
Exercice 13 (1,5 points)
On a tracé ci-contre la courbe représentative d’une fonction f
définie et dérivable sur R, et les tangentes à cette courbe aux points
A et B.
1. Déterminer f ′ (−4). Justifier.
2. Déterminer f ′ (−1). Justifier.
B
b
1
(b) Étudier les variations de (un ).
Exercice 10 (4,5 points)
On considère la suite (An ) définie par A0 = 1 et pour tout entier
3
n > 0, An+1 = An + 1.
2
1. Calculer A1 et A2 (rédiger les calculs).
2. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée de
A8 . Arrondir à 10−4 près.
3. On admet que la suite (An ) diverge vers +∞ .
(a) Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0
tel que An0 > 105 .
−5
−4
−3
−2
−1
c
−1
b
A
−2
Exercice 14 (bonus, 1 point)
Montrer que la courbe de la fonction inverse admet en deux points
1
une tangente parallèle à la droite d’équation y = − x + 3 et
4
préciser les abscisses de ces deux points.