de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : ´
Etudes de fonctions
Exercice n˚1:
On donne la fonction fd´efinie sur Rpar : f(x) = −x4+ 2x2+ 1.
On appelle Γ la courbe repr´esentative de fdans un rep`ere orthonorm´e (O;~ı, ~) .
1. ´
Etudier la parit´e de f.
2. D´eterminer les limites de faux bornes de son domaine de d´efinition.
3. Calculer la fonction d´eriv´ee de fet ´etudier son signe.
4. Dresser le tableau de variations de f.
5. Tracer la courbe repr´esentative de f.
Corrig´e
Exercice n˚2:
Soit la fonction d´efinie sur R− {1}, par f(x) = x2+x+ 1
x−1.
On note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.
1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d’abscisse 1.
2. D´eterminer les limites de faux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on
en d´eduire pour (Cf) ?
3. D´eterminer trois r´eels a, b et ctels que : f(x) = ax +b+x
x−1.
4. En d´eduire l’existence d’une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.
5. Calculer la fonction d´eriv´ee de fet ´etudier son signe.
6. Dresser le tableau de variation de f.
7. Tracer (Cf).
Corrig´e
Exercice n˚3:
On donne la fonction fd´efinie par f(x) = 3
x2+ 2x−3, et on note (Cf) sa courbe
repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer le domaine de d´efinition Dfde la fonction f.
2. Montrer que la droite d’´equation x=−1 est axe de sym´etrie de (Cf).
Dans la suite de l’exercice, la fonction fsera ´etudi´ee sur [−1; 1[∪]1; +∞[.
3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf) ?
4. Calculer la fonction d´eriv´ee de fet ´etudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations de f.
6. Tracer (Cf).
Corrig´e
L.BILLOT 1 DDL
de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : ´
Etudes de fonctions
Exercice n˚4:
On donne la fonction fd´efinie par f(x) = x2
x2−2x+ 2, et on note (Cf) sa courbe
repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer le domaine de d´efinition de f.
2. D´eterminer les limites de faux bornes du domaine, en d´eduire l’existence d’une
asymptote horizontale (∆) pour (Cf).
3. ´
Etudier les positions relatives de (Cf)et de (∆).
4. Calculer la fonction d´eriv´ee de fet ´etudier son signe.
5. Dresser le tableau de variations de f.
6. Tracer (Cf).
Corrig´e
Exercice n˚5:
On donne la fonction fd´efinie par f(x) = 2x3+ 27
2x2et on note (Cf) sa courbe repr´e-
sentative dans un rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition Dfde f.
2. D´eterminer les limites de faux bornes de son ensemble de d´efinition.
3. Montrer que la droite d’´equation y=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞
et en −∞.
4. (a) Justifier l’´equivalence : x>3⇔x3>27.
(b) Calculer la fonction d´eriv´ee de f.
(c) ´
Etudier le signe de f′.
5. Dresser le tableau de variations de f.
6. Tracer la courbe repr´esentative de f.
Corrig´e
Exercice n˚6:
On donne la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = cos 2x−2 cos xet on note (Cf) sa
courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.
1. (a) Montrer que fest 2π−p´eriodique.
(b) Montrer que fest paire.
2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee de fs’´ecrit : f′(x) = 2 sin x(1 −2 cos x).
(b) ´
Etudier le signe de f′sur [0; π].
3. Dresser le tableau de variations de fsur [0; π].
4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.
Corrig´e
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