DS 01 - Lycée Faidherbe

PCSI1-PCSI2 DS n˚01 - SAMEDI 17 SEPTEMBRE 2016 - 3 heures 2016-2017
La calculatrice n’est pas autorisée. Les résultats seront encadrés ou soulignés .
Exercice 1
QUESTIONS DE COURS - Aucune preuve n’est demandée dans les questions (1.),(2.) et (3.).
1. Si 𝑄est un nombre complexe et 𝑁un entier naturel, simplifier la somme :
1 + 𝑄+𝑄2+⋅⋅⋅ +𝑄𝑁=
𝑁
𝑘=0
𝑄𝑘=. . . ?
2. Compléter (i.e factoriser), si 𝜃est un réel :
1 + 𝑒𝑖𝜃 =. . . et 1−𝑒𝑖𝜃 =. . .
3. Si 𝑟1et 𝑟2sont les deux racines du polynôme du second degré 𝑃(𝑋) = 𝑎𝑋2+𝑏𝑋 +𝑐, que valent
leur somme 𝑟1+𝑟2et leur produit 𝑟1𝑟2en fonction des coefficients de 𝑃?
4. (a) Soit 𝑓:ℝ−→ ℝ
𝑥7−→ 𝑓(𝑥) = 𝑥3.
L’application 𝑓est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? Justifier.
(b) Soit 𝑔:ℂ−→ ℂ
𝑧7−→ 𝑔(𝑧) = 𝑧3.
L’application 𝑔est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? Justifier.
Exercice 2
1. Déterminer les racines carrées de 5 + 12𝑖.
2. On considère le polynôme 𝑃défini par 𝑃(𝑧) = 𝑧3+ 2𝑧2−3𝑖𝑧 −1−3𝑖.
Ce polynôme possède une racine réelle : quelle est-elle ?
3. Déterminer alors toutes les racines de 𝑃.
Exercice 3 Si 𝑧est un complexe non-réel, on pose 𝑄(𝑧) = Im(𝑧5)
(Im(𝑧))5.
On se propose de déterminer le minimum de cette quantité 𝑄(𝑧)lorsque 𝑧décrit ℂ∖ℝ, autrement
dit on cherche la valeur de min Im(𝑧5)
(Im(𝑧))5∣𝑧∈ℂ∖ℝ= min
𝑧∈ℂ∖ℝIm(𝑧5)
(Im(𝑧))5.
1. Soit 𝑎= 1 + 𝑖: donner la forme trigonométrique de 𝑎.
En déduire 𝑎5puis la valeur de 𝑄(𝑎) = Im(𝑎5)
(Im(𝑎))5.
2. Donner la formule du binôme de Newton.
3. On pose 𝑧=𝑥+𝑖𝑦, un complexe non-réel, où (𝑥, 𝑦)∈ℝ2.
(a) Calculer Im(𝑧5)en fonction de 𝑥et 𝑦.
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(b) On pose 𝑋=𝑥
𝑦: montrer que 𝑄(𝑧)est un polynôme en 𝑋(que l’on déterminera).
4. En déduire, pour tout 𝑧∈ℂ∖ℝ:Im(𝑧5)
(Im(𝑧))5⩾−4.
Pour quelle(s) valeur(s) de 𝑧a-t-on égalité dans cette inégalité ?
5. Conclure.
Exercice 4
On se propose de résoudre l’équation suivante : (𝐸) : 𝑥3−12𝑥−8 = 0.
1. Etudier les variations, sur ℝ, de la fonction 𝑓définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥3−12𝑥−8. En déduire le
nombre de solutions réelles de l’équation (𝐸).
2. On cherche une solution de (𝐸)sous la forme 𝑥=𝑢+𝑣, avec 𝑢et 𝑣complexes.
(a) Montrer qu’en fixant le produit 𝑢𝑣 = 4, on doit avoir 𝑢3+𝑣3= 8.
(b) En déduire, sous ces hypothèses, que 𝑢3et 𝑣3sont solutions d’une équation du second
degré, dont on calculera les solutions sous forme trigonométrique.
(c) Déterminer les couples (𝑢, 𝑣)correspondants, puis les solutions de l’équation (𝐸).
3. Dans cette question, on applique une autre méthode permettant de retrouver les solutions de
l’équation (𝐸).
(a) Linéariser cos3(𝜃): plus précisément, exprimer cos3(𝜃)en fonction de cos(𝜃)et cos(3𝜃).
(b) On cherche les solutions de (𝐸)sous la forme 𝑥=𝑎cos(𝜃)(avec 𝑎et 𝜃réels) : trouver un
réel 𝑎positif pour que l’équation (𝐸)se ramène à la résolution de cos(3𝜃) = constante.
(c) Conclure. Comparer avec les résultats obtenus à la question précédente.
Exercice 5 On se propose de démontrer que « tout complexe non nul peut s’écrire comme la
somme de deux complexes dont la différence et le quotient sont des imaginaires purs ».
Soit 𝑧∈ℂ∗: on cherche donc (𝑢, 𝑣)∈ℂ2tels que :
(1)𝑧=𝑢+𝑣
(2)𝑢−𝑣∈𝑖ℝ
(3)𝑢
𝑣∈𝑖ℝ
.
1. Montrer que les conditions (2)et (3)sont équivalentes à 
(4)Re(𝑢) = Re(𝑣)
(5)Re(𝑢𝑣)=0 .
2. On pose 𝑢=𝛼+𝑖𝑥 et 𝑣=𝛼+𝑖𝑦, avec (𝛼, 𝑥, 𝑦)∈ℝ3.
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(a) Déterminer 𝛼en fonction de 𝑧.
(b) En utilisant (1)et (5), montrer que 𝑥et 𝑦sont les racines de l’équation du second degré,
d’inconnue 𝑋:
𝑋2−Im(𝑧)𝑋−Re(𝑧)2
4= 0.
(c) Conclure.
3. Un exemple : donner une décomposition de 𝑧= 3 + 4𝑖en somme de deux complexes dont la
différence et le quotient sont des imaginaires purs.
4. Que pensez-vous du même type de problème où la différence et le quotient sont des réels ?
Exercice 6
Soit 𝑃(𝑋) = 𝑋𝑛+𝑎𝑛−1𝑋𝑛−1+𝑎𝑛−2𝑋𝑛−2+⋅⋅⋅ +𝑎2𝑋2+𝑎1𝑋+𝑎0, un polynôme (unitaire, ce qui
signifie que le coefficient dominant 𝑎𝑛vaut 1) de degré 𝑛⩾2, à coefficients complexes.
On note 𝑅le maximum du module de ses racines et 𝐴le maximum du module de ses coefficients
autres que le coefficient dominant. Autrement dit, si 𝛼1,...,𝛼𝑛sont les racines de 𝑃:
𝑅=max(∣𝛼1∣,...,∣𝛼𝑛∣)et 𝐴=max(∣𝑎0∣,...,∣𝑎𝑛−1∣).
1. (a) Montrer que, si 𝑧est une racine du polynôme 𝑃, alors on a : ∣𝑧∣𝑛⩽𝐴𝑛−1
𝑘=0 ∣𝑧∣𝑘.
(b) En déduire : si 𝑧est une racine de 𝑃, alors : ∣𝑧∣⩽𝐴+ 1.
Quelle relation peut-on en déduire entre 𝑅et 𝐴?
2. Application : montrer que les images des racines du polynôme
𝑄(𝑋) = (2 + 𝑖)𝑋3−7𝑖𝑋2+ (9𝑖−2)𝑋−3𝑖
sont toutes dans un disque de centre 𝑂et de rayon 1 + √17.
Vérification : déterminer les racines du polynôme 𝑄sachant qu’il y en a au moins une qui est
réelle, et calculer le maximum de leur module.
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