Méthodes de calcul et statistiques I Nombres complexes et

BGPC–LM100
Année 2007-2008
Méthodes de calcul et statistiques
Corrigé du contrôle continu du 29 mars 2008
I
Nombres complexes et trigonométrie
I.3
L’équation (1) s’écrit, en notant ρ et θ le module et l’argument de z :
ρ eiθ
5
y
z1
z2
= ρ5 ei5θ = 1ei 0 ⇒ ρ5 = 1 et 5θ = 0 [2π] ,
z0
x
d’où ρ = 1 et θ = k 2π/5 où k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Soit les cinq racines :
z3
z4
z0 = 1 , z1 = ei2π/5 , z2 = ei4π/5 , z3 = ei6π/5 , z3 = ei8π/5 .
(3)
Les 5 racines.
I.3
Le nombre 1 étant une des racines, on sait que l’on peut factoriser par z − 1. Il suffit de développer le
polynôme de l’équation (2) :
©
3
3 ©
2
5
(z − 1) (z 4 + z 3 + z 2 + z + 1) = z 5©
−z©4 ©
+z©4 − Z
zZ
+@
z@
−z©
+z©2H
−zHH
+z
©
H− 1 = z − 1 = 0
©
I.4
Il suffit de développer et de regrouper les termes dépendants de φ :
(z 2 + φ z + 1)(z 2 − z/φ + 1) = z 4 + z 2 + 1 + (z + z 3 )(φ − 1/φ) = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
si et seulement si φ − 1/φ = 1, soit φ2 − φ − 1 = 0.
I.5
On résout l’équation du second degré en φ± = (1 ±
comprise entre 1 et 2.
II
Vecteurs et matrices
II.2
On a :
II.3
II.4
x
−−→
AB ≡ AB = OB − OA = (2, 2, 2) − (1, 1, 1) = (1, 1, 1) ,
−−→
DC ≡ DC = OC − OD = (1, 0, 1) − (0, 1, 1) = (1, −1, 0) .
z
B
A
C
√
√
M · OA = (1 + 1/ 2 , 1 − 1/ 2 , 0) .
Comme il apparaîtra plus tard, M est une isométrie de l’espace (matrice
D
y
orthogonale), de déterminant 1, laissant invariante la droite engendrée par le
vecteur i+j (c’est à dire telle que y = x, z = 0). C’est donc une rotation autour
Les 4 points.
de cet axe. On montre que l’angle de cette rotation est de π/2 en constatant
que le vecteur k, perpendiculaire à l’axe, est amené dans le plan 0xy (3è colonne de M).
Le calcul de det(M) de fait de façon la plus commode en développant par rapport à la dernière colonne :
1 1
det(M) = √ 2 1
2 − √2
II.5
√
√
5)/2, dont seule la racine φ = (1 + 5)/2 est
1
2
√1
2
1
+ 2
− √1
2
1
2
√1
2
1
1
= √1
√ +√
=1
2
2
2
Il s’ensuit que la matrice M est inversible. On peut évaluer son inverse par
√ la méthode de Gauss,
en commençant par multiplier par 2 les deux premières lignes et par η = 2 la troisième, puis en
permutant les deuxième et troisième lignes (pour éviter un pivot nul) :

1
 −1
1
1
1
1
η
0
−η
|2
|0
|0
0
0
2
0
η
0


1
`2 ←(`1 +`2 )/2
−−−−−−−→  0
`3 ←`3 −`1
1
1
η
|+2
η/2
|+1
0
η/2
|+1
0
−η/2
η/2  −−−−−→  0
1
η/2
|+1
0
η/2
0
0
1
|1/η
−1/η
0
0
0
−2η
0
0
|+1/2
1/2
−η/2
−−−−−−→  0
1
0
|+1/2
2/2
η/2
0
0
1
|1/η
−1/η
0
`2 ←`2 −η`3 /2
1
0
`3 ←−`3 /2η
0
`1 ←`1 −η`3 /2
2
`1 ←`1 −`2
1

|−2
0


1
0




BGPC–LM100
Année 2007-2008
√
et en utilisant η/2 = 1/ 2, il vient :
 1

M−1 = 
1
2
1
2
−1
√
2
2
1
2
√1
2
√1
2
−1
√
2


 ,
(4)
0
et on constate que M−1 = tM, comme on devait s’y attendre en constatant que M est une matrice
orthogonale, c’est à dire que ses vecteurs colonnes sont de norme 1 et perpendiculaires deux à deux.
II.6
L’équation M · X = X s’écrit encore (M − 11) · X = 0, soit :
− 12 x + 12 y +
√1 z
2
=0
1
2x
− 12 y −
√1 z
2
=0
−
√1 x
2
+
√1 y
2
− 1z = 0
(5)
II.7
Le système obtenu est visiblement homogène1 . Par contre le fait que M soit inversible n’assure aucunement le fait que M − 11 le soit (ou non). En revanche, on constate immédiatement que les deux
premières équations sont identiques, ce qui indique que le système n’est pas régulier (det(M − 11) = 0),
et il y a donc une infinité de solutions.
II.8
La résolution de ce système
√ peut être faite par une élimination fondée sur la méthode de Gauss. Mais
ici on voit que `1 + `3 / 2 donne z = 0 ; en reportant alors dans `1 , il s’ensuit que x = y, d’où les
solutions :
X = (x, x, 0)
pour
x ∈ IR .
III
Fonctions et développements limités
Pn
f (p) (x0 )
(x
p!
− x0 )p + (x − x0 )n (x − x0 ), où (x − x0 ) → 0 pour (x − x0 ) → 0.
√
III.2 On calcule successivement : f 0 (x) = x/ x2 + 5 et f 00 (x) = 5/(x2 + 5)2 /2. Donc f (2) = 3, f 0 (2) = 2/3
et f 00 (x) = 5/27.
5
f (x) ≈ 3 + 23 (x − 2) + 2×27
D’où le DL2 :
(x − 2)2 .
III.1 On a : f (x) =
p=0
III.3 On constate immédiatement que le numérateur et le dénominateur de g tendent vers 0 lorsque x → 2,
ce qui donne une forme indéterminée. On peut alors utiliser le DL de f à l’ordre 1 pour écrire :
g(x) ≈
−(x + 2)(x − 2)
3(x + 2)
4 − x2
=
=
−−−→ 6 .
2
2
x→2
2
3 − (3 + 3 (x − 2))
− 3 (x − 2))
(6)
III.4 La fonction f est définie sur IR. Elle est paire. Compte tenu des dérivées obtenues ci-dessus, on constate
que f 0 (x) est du signe de x, et que f 00 (x) est strictement positive ; f est donc convexe et n’a pas de point
d’inflexion.
Ses limites en ±∞ sont visiblement +∞.
8
p De plus,
on peut écrire pour x grand : f (x) = x 1 + 5/x2 ≈
7
x(1 + 1/2 × 5/x2 ), ce qui montre que f (x) − x ≈
6
5/2x → 0+ lorsque x → +∞. On en déduit que le
5
graphe de f possède deux asymptotes obliques de
4
pente ±1 en ±∞. D’où le tableau de variation et le
3
graphe (c’est une hyperbole) :
2
x
−∞
0
+∞
0
f (x) −1 − √0 + +1
f (x) +∞ &
5 % +∞
1
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Graphe de la fonction f .
1. Sans discuter a priori la nullité éventuelle de X (comme on lit dans beaucoup de copies), ce qui est absurde, puisque
cela revient à dire : «si je suppose que X est nul, alors je trouve comme solution X nul.
2. Il est absurde de développer ce polynôme, puisque il n’a d’intérêt qu’au voisinage de x = 2, et aucun sens autour
de x = 0.
2