Devoir maison Quelques résultats sur les équations de degré 3

Devoir maison Quelques résultats sur les équations de degré 3 1ère PARTIE : Etude du nombre de racines d’un polynôme réel de degré 3 Soit ! un polynôme du troisième degré et soient ! , !, !, ! quatre réels, ! non nul, tels que : ! ! = !! ! + !! ! + !" + ! ! !é!" On étudie les solutions de l’équation ! ! = 0. Plus précisément, on cherche à connaître le nombre de solutions d’une telle équation. Ces solutions sont appelées racines de ! . 1. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que ! possède au moins une racine. ! peut-­‐il avoir plus de trois racines ? Justifier. 2. Soit ! une racine de ! . Montrer que ! racine de ! équivaut à ! racine de ! ×! avec ! réel non nul. En déduire que trouver les racines de ! revient à s’intéresser aux racines d’un polynôme tel que ! = 1 Nous pouvons donc nous intéresser maintenant uniquement aux polynômes de la forme : ! ! = ! ! + !! ! + !" + ! 3. On considère le polynôme ! défini par : !
! ! = ! ! − !"#$ ! ! = ! ! + !! ! + !" + ! 3
Montrer que le coefficient de degré 2 de ! est nul. !
4. Montrer que si ! est racine de ! , alors ! = ! + est racine de ! . !
En déduire que le polynôme ! a le même nombre de racines que ! , et que chaque racine de ! se déduit d’une racine de du polynôme ! par l’addition d’un même nombre que l’on précisera. Nous pouvons donc nous intéresser maintenant uniquement aux polynômes de la forme : ! ! = ! ! − !" − ! avec ! et ! deux réels quelconques. (Nous verrons que cette écriture de ! est plus pratique à utiliser que ! ! = ! ! + !" + !) 5. Étude du cas où ! ≤ ! Soit ! ! = ! ! − !" − ! avec ! et ! deux réels quelconques. Montrer que si ! est négatif ou nul ! (!) = 0 possède une unique solution. Indication : On pourra étudier les variations de ! en déterminant le signe de !’(!). 6. Étude du cas où ! > ! !" ! ≥ ! (Les résultats que nous allons obtenir se démontrent pareillement lorsque ! est négatif et seront admis) a. Etudier les variations de P et montrer que P possède deux extremums atteints en !
!
−
!" 3
3
Montrer que !
!
!
< 0. En déduire qu’il existe une racine strictement positive supérieure à b. On s’intéresse dans cette question au signe de ! −
Suivant le signe de ! −
!
!
!
!
!
!
déterminer le nombre de racines distinctes du polynôme P. c. Plus difficile (Facultatif) Montrer qu’étudier le signe de ! −
!
!
revient à étudier le signe ! !
!
−
! !
!
Indication : Si deux nombres sont positifs, les comparer revient à comparer leur carré 7. En utilisant les résultats des précédentes questions, récapituler dans un tableau le nombre de racines de ! ! = ! ! − !" − ! suivant les valeurs de ! et ! . . 2ème PARTIE : Résoudre une équation de degré 3 à la méthode de Cardan L’objectif de cette deuxième partie est de résoudre, à la méthode de Cardan l’équation : ! : !! = !" + ! 1. En utilisant votre calculatrice, conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation ! et donner une valeur approchée à 10!! près de chacune d’elles. 2. On pose ! = ! + ! avec ! et ! réels. a. En développant ! + ! ! montrer que ! ! = ! ! + ! ! + 3!"# b. Montrer que s’il existe deux réels ! et ! tels que le couple (! ; !) soit solution du système : !
!
! : ! + ! = 6 alors ! = ! + ! est solution de (!). !" = 2
3. On pose ! = ! ! !" ! = ! ! !+! =6
a. Montrer que (!, !) solution de (!) si et seulement si (! ; !) est solution de ! ! ∶ !×! = 8
!
b. Montrer que ! et ! sont les solutions de l’équation ! − 6! + 8 = 0 c. Déterminer ! et ! , puis ! et ! , enfin en déduire une solution exacte de (!) On vérifiera, la cohérence du résultat trouvé avec l’approximation de la question 1. 3ème PARTIE : Résolution complète de l’équation !! = !"# + ! Nous avons vu en cours que Bombelli, en introduisant un « nombre imaginaire », réussit à trouver que 4 est solution de l’équation ! ! = 15! + 4. Nous avons aussi conjecturé, grâce à la représentation graphique de ! ! = ! ! − 15! − 4 que ce polynôme possède en fait 3 racines réelles distinctes. 1. Montrer que ! ! − 15! − 4 = (! − 4)(!! ! + !" + !) où ! , !, ! sont des réels que l’on déterminera. 2. Déterminer par le calcul les 2 autres solutions de l’équation ! ! = 15! + 4.