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CONCOURS
J. 4788
ESIM Entrepreneur Industrie - Session 2003
Filières PC, PSI
EPREUVE DE MATHEMATIQUES II (algèbre)
Durée : 3 heures
Calculatrices interdites
Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à deux, E un Cespace vectoriel de
dimension
n, et B=(el, ..., eJ une base de E. On note M,(G 1 ’algèbre des matrices carrées d’ordre n à
coeflcients complexes, et si A en est un élément, le polynôme caractéristique de A sera x() =det(I,,-A). où In
désigne la matrice unité de Mn(Q.
Pour A de M,(Q de terme général a, on note 2 la matrice de terme général a,, et A* la transposée de
cette matrice.
On admettra le résultat suivant : si bl, ..., b, sont des complexes deux à deux distincts, alors le déterminant
de la matrice
A de M,(Q de coeficient akm = bi’ est non nul.
L’objet du problème est de voir deux points de vue diyérents de résolution d’une équation algébrique du
troisième degré.
-
Partie 1
On considère l’équation à coefficients réels (e) : x3 + a2 + bx + c = O, et on note
P(X) = X3 + aX2 + bX + c .
1) a) Trouver un réel a dépendant de a, b, c, tel que le coefficient du terme de degré deux du
polynôme Q(X) = P(X + a) soit nul.
b) On note alors Q(X) = X3 + pX + q . Exprimerp et q en fonction de a, b, c.
2) Trouver une condition nécessaire et suffisante portant surp et q pour que le polynôme Q possède
dans C une racine au moins double. Résoudre l’équation (e’): Q(x) = O dans ce cas.
3) On suppose que la condition trouvée au 2) n’est pas vérifiée et on veut résoudre l’équation (e’).
a) Montrer que tout complexe x peut se mettre sous la forme x = u + v où u et v sont des
b) Montrer que si x est solution de (e’) u3 et v3 sont les racines z, et z2 d’une équation du
c) En déduire les solutions de (e’) en distinguant les cas 4p3 + 27q2 > O et 4p3 + 27q2 < O.
d) Dans quel cas les racines sontelles toutes réelles ? Comparer avec l’étude des variations de Q.
complexes vérifiant la condition 3uv + p = O .
second degré que l’on formera.
2
4) Application : Résoudre dans C I’équationx3 - 3x - 3x - 1 = O .
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Partie 2
ûn considère des complexes a,, ..., a,,-, et on note u l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base , B
an-, a,, a, : -. "' - an - 2
a, a, a,
---
est A=
. On note w l'endomorphisme de E dont la matrice dans la
-* a1 a2
am-, a,, -. --
..
base B est W =
0 1 0 ... ... O
O0 1 .. ..O
..
..
...
i O .*. ..
O .-. ... - -. 1 O
n -
ûn note enfin P(X) = a, + a,X + ... + a, - ,~ " - ' =
akXk .
k=O
1) a) Pour k compris entre 1 et n, expliciter Nek) .
b) Pour 1 S p I n,lS k S n calculer wp(et) ; (faire une récurrence surp). En déduire
que
W" = IdE.
c) Etablir que w est diagonalisable, donner son spectre et ses sousespaces propres et prouver
qu'il existe Uinversible telle que
U* = U-' vérifiant : U*WU est diagonale.
On note C[wJ l'ensemble des RW loque R parcourt Cp].
a) Montrer que si une matrice M est élément de C[ wJ alors U'MU est diagonale.
b) Etablir que tout élément de C[wJ commute avec K
c) Soit Mmatrice qui commute avec W; on note m l'endomorphisme représenté par Mdans la
base
B. Monîrer que tout sous-espace propre de w est stable par m. En déduire que U'MU est
diagonale, puis que Mest élément de C[wJ
. (On montrera que U*MU est un polynôme en
U*WU 1. Conciusion ?
d) Diagonaliser A.
3) Application
(1 2 1 3)
3121
a) Diagonaliser A =
(2 1 3 iJ
b) Déduire de ce qui précède les racines de X - 4X - 20X - 4X - 2 1 .
c) Mêmes questions pour A = et X3 - 3X2 - 3X - 1.
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4) On revient au cas général et on note Q le polynôme caractéristique de A. En utilisant
2)d) prouver que les racines de Q sont réelles si et seulement si A* = A.
Partie 3
1) On considère le polynôme à coefficients réels Q(X) = X2 + d + p . Ici n=2 et
doncW=( O1 ).
10
a) Soit A = [ b :) . Montrer que Q est le polynôme caractéristique de A si et seulement
a = - 2a
a2 -b2 =$’
si {
b) Dans ce cas, exprimer A comme un polynôme en W dont les coefficients seront exprimés en
fonction de
a et p. En déduire les racines de Q.
2) Exemple : utiliser cette méthode pour trouver les racines de Q(X) = X2 - 3X + 2 .
3) On considère dans cette question le polynôme à Coefficients réels Q(X) = X3 + aX2 + PX + y .
I
i
et x le polynôme caractéristique de A. Calculer x(a+y). Que remarque - t -
on ?
b) On suppose que a+, c’est - à - dire Q(X) = X3 + fl+ y et on cherche A avec 6 ;justifier.
1
b3 + c3 = -y
. Résoudre ce système. (On gardera pour la suite
t 3bc = -p
Montrer que Q= x si et seulement si
la seule solution de ce système
où b n’a formellement nij ni j2 en facteur).
c) Toujours avec a+ et A, exprimer alors A comme un polynôme en W. En déduire les racines de
Q.
4) Exemple : Trouver les racines de Q(X) = X3 - 2X - 12.
5) a) On suppose qu’on est toujours dans le cadre du 3)b,c. Donner une condition nécessaire et
suffisante simple
sur b et c pour que les racines de Q soient réelles en utilisant le II4).
b) A l’aide de 3)b, prouver que les racines de Q sont réelles si et seulement si 27y2 + 4P3 2 O.
c) On suppose que c = b . Calculer Q(J,, QO), Q& et les points d’abscisses correspondantes sur le
cercle de centre
O et de rayon 2lbl .Que constate-t&?
,.
Fin de l’énoncé
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i