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J. 4788
CONCOURS ESIM Entrepreneur Industrie - Session 2003
Filières PC, PSI
EPREUVE DE MATHEMATIQUES II (algèbre)
Durée : 3 heures
Calculatrices interdites
Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à deux, E un Cespace vectoriel de
dimension n, et B=(el, ...,eJ une base de E. On note M,(G 1’algèbredes matrices carrées d’ordre n à
coeflcients complexes, et si A en est un élément, le polynôme caractéristique de A sera x() =det(I,,-A). où In
désigne la matrice unité de Mn(Q.
Pour A de M,(Q de terme général a, on note 2la matrice de terme général a,, et A*la transposée de
cette matrice.
On admettra le résultat suivant :si bl,...,b, sont des complexes deux à deux distincts, alors le déterminant
de la matrice A de M,(Q de coeficient akm= b i ’ est non nul.
L’objet du problème est de voir deux points de vue diyérents de résolution d’une équation algébrique du
troisième degré.
Partie 1
+
On considère l’équation à coefficients réels (e) : x3 a2
+ bx + c = O, et on note
P ( X ) = X 3 aX2 bX + c .
1) a) Trouver un réel a dépendant de a, b, c, tel que le coefficient du terme de degré deux du
polynôme Q(X)= P(X + a) soit nul.
+
+
b) On note alors Q(X)= X 3 + pX
+ q .Exprimerp et q en fonction de a, b, c.
2) Trouver une condition nécessaire et suffisante portant surp et q pour que le polynôme Q possède
dans C une racine au moins double. Résoudre l’équation (e’): Q(x) = O dans ce cas.
3) On suppose que la condition trouvée au 2) n’est pas vérifiée et on veut résoudre l’équation (e’).
a) Montrer que tout complexe x peut se mettre sous la forme x = u + v où u et v sont des
complexes vérifiant la condition 3uv + p = O .
b) Montrer que si x est solution de (e’) u3 et v3 sont les racines z, et z2 d’une équation du
second degré que l’on formera.
c) En déduire les solutions de (e’) en distinguant les cas 4p3 + 27q2 > O et 4 p 3 + 27q2 < O.
d) Dans quel cas les racines sontelles toutes réelles ? Comparer avec l’étude des variations de Q.
4) Application :Résoudre dans C I’équationx3 - 3x 2 - 3x - 1 = O
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.
Tournez la page S.V.P.
Partie 2
ûn considère des complexes a,, ...,a,,-, et on note u l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base
,
B
a,
a,
an-,
a,,
.
est A = am-,
a,,
.
--a, -.
-. - -
a,
:
"'
-
a1
-*
0 1 0
O 0 1
i O .*.
base B est W =
O .-. ...
ûn note enfin P ( X ) = a,
an-2
...
...
..
a2
. On note w l'endomorphisme de E dont la matrice dans la
... O
- -.
.. . O
... ..
1 O
+ a,X + ...+ a , -, ~ "-'=
n-
akXk.
k=O
1)
a) Pour k compris entre 1 et n, expliciter
b) Pour 1 S p I n , l S
Nek).
k S n calculer w p ( e t ) ;(faire une récurrence surp). En déduire
que W" = IdE.
c) Etablir que w est diagonalisable, donner son spectre et ses sousespaces propres et prouver
qu'il existe Uinversible telle que U* = U-' vérifiant : U*WU est diagonale.
On note C[wJ l'ensemble des R W l o q u e R parcourt C p ] .
a) Montrer que si une matrice M est élément de C [wJ alors U'MU est diagonale.
b) Etablir que tout élément de C[wJ commute avec K
c) Soit Mmatrice qui commute avec W; on note m l'endomorphisme représenté par Mdans la
base B. Monîrer que tout sous-espace propre de w est stable par m. En déduire que U'MU est
diagonale, puis que Mest élément de C[wJ . (On montrera que U*MU est un polynôme en
U*WU1. Conciusion ?
d) Diagonaliser A.
3) Application
a) Diagonaliser A =
(1 2 1 3)
3 1 2 1
(2
1 3
iJ
b) Déduire de ce qui précède les racines de X - 4X
c) Mêmes questions pour
- 20X - 4 X - 2 1.
et X 3 - 3 X 2 - 3X - 1.
A=
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1
4) On revient au cas général et on note Q le polynôme caractéristique de A . En utilisant
2)d) prouver que les racines de Q sont réelles si et seulement si A* = A .
Partie 3
+ d + p .Ici n=2 et
1) On considère le polynôme à coefficients réels Q ( X ) = X 2
doncW=( O
1).
[b :).
1 0
a) Soit A =
Montrer que Q est le polynôme caractéristique de A si et seulement
{
a = -2a
a2 - b 2 = $ ’
b) Dans ce cas, exprimer A comme un polynôme en W dont les coefficients seront exprimés en
si
fonction de a et p. En déduire les racines de Q.
2) Exemple :utiliser cette méthode pour trouver les racines de Q ( X ) = X 2 - 3X
+2 .
3) On considère dans cette question le polynôme à Coefficients réels Q ( X ) = X 3 + aX2+ PX
+y
.
I
i
et x le polynôme caractéristique de A. Calculer x(a+y). Que remarque-ton ?
b) On suppose que a+, c’est-à-dire Q ( X ) = X 3 + f l +y et on cherche A avec 6;justifier.
Montrer que Q= x si et seulement si
t
b3 + c3 = -y
.Résoudre ce système. (On gardera pour la suite
3bc = -p
la seule solution de ce système où b n’a formellement n i j nij 2en facteur).
c) Toujours avec a+ et A,
exprimer alors A comme un polynôme en W. En déduire les racines de
Q.
4) Exemple :Trouver les racines de Q ( X ) = X 3 - 2X
- 12.
5) a) On suppose qu’on est toujours dans le cadre du 3)b,c. Donner une condition nécessaire et
suffisante simple sur b et c pour que les racines de Q soient réelles en utilisant le II4).
b) A l’aide de 3)b, prouver que les racines de Q sont réelles si et seulement si 27y2 + 4P32 O.
c) On suppose que c =
,.
b .Calculer Q(J,, QO),
Q& et les points d’abscisses correspondantes sur le
cercle de centre O et de rayon 2lbl .Que constate-t&?
Fin de l’énoncé
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i