Séries d`exercices 2ème sciences Polynomes

Séries d’exercices
Polynomes
2ème sciences
Maths au lycee *** Ali AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
EXERCICE N°1
Factoriser les polynômes P(x) = x4 - 1 et Q(x) = x4 + 1 en deux polynôme de second degré.
EXERCICE N°2
k
, toute équation de la forme :
x
x4 + ax3 + bx² + k.ax +k² = 0 ( k ≠ 0 ) se ramène a une équation de second degré .
2°)Résoudre alors les équations :
(a) x4 - x3 + 5x² - x +1 = 0
(b) x4 – 3x3 + 4x² - 6x + 4 = 0
1°)Montrer qu’en posant X = x +
EXERCICE N°3
Soit le polynôme : P(x) = x4 – 3x3 + 3x² - 3x – 2
2 et b = 1 -
1°)Montrer que : a = 1 +
2°)Factoriser alors P(x) .
2 sont des racines de P .
EXERCICE N°4
Soit la fraction : F(x) =
2
x + 3x + 2
1°)Déterminer deux réels a et b tels que , pour tout réel x différent de -1 et -2, on a :
a
b
F(x) =
+
x +1
x +2
1
1
1
1
2°)Calculer alors la somme : S =
+
+
+ …..+
où n ∈ N *
1² + 3 + 2 2² + 3.2 + 2 3² + 3.3 + 2
n² + 3 n + 2
2
EXERCICE N°5
En utilisant le procédé de Horner , Calculer P(2) et P(3) avec P(x) = x6 – 4x4 – x2 + 4
EXERCICE N°6
Soient : P(x) = xn + x + 1 et Q(x) = x2 + 3x – 4 où n ∈ N * -{1}
On suppose qu’ils existe deux polynôme S et R tel que :
P(x) = Q(x) . S(x) + R(x) avec d°R = 1
1°)Déterminer le d°S
2°)Déterminer le polynôme R(x) en fonction de x et n .
EXERCICE N°7
Soient u1 , u2 et u3 les racines d’une équation de troisième degré . (ax3 + bx2 + cx +d = 0 , a ≠ 0 )
On pose : u1 + u2 + u3 = 6 et u1u2 + u1u3 +u2u3 = 11 et u1u2u3 = 6
Calculer les sommes suivantes :
1°) S1 = u1² + u2² + u3²
2°)S2 = u13 + u23 + u33
3°)S3 = u14 + u24 + u34
EXERCICE N°8
1°)Déterminer un polynôme P de second degré tel que pour tout réel x o,n a : P(x + 1) – P(x) = x
2°)En déduire la valeur de la somme : S = 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n où n ∈ N
EXERCICE N°9
1°)Montrer que :(1 – x)(1 + x + x² + ……+ xn) = 1 – xn+1
2°)En déduire la valeur de la somme S = 1 + 2 + 2² + 23 +…..+22009
EXERCICE N°10
Soit a , b et c trois réels tel que :a+b+c =0 . On pose :U = ab + bc + ac et V = abc .
a 5 + b5 + c 5
 a² + b² + c²   a 3 + b3 + c 3
Le but de l’exercice est de démontrer que :
= 
 .
5
2
3

 
1°)Montrer que : a² + b² +c² = -2.U
2°)Etablire que pour tout réel x , on a : (x – a)(x – b)(x – c) = x3 + U.x – V .
3°)En déduire les égalités suivantes :
a3 = V – a.U ; a4 = a.V – a².U ; a5 = -U.V + a.U² + a².V .
4°)A l’aide des égalités précédents , montrer que :
a3 + b3 + c3 = 3.V ; a4 + b4 + c4 = 2.U² ; a5 + b5 + c5 = -5.U.V
a 5 + b5 + c 5
 a² + b² + c²   a 3 + b3 + c 3 
5°)En déduire alors que :
= 
 .

5
2
3

 





1